Comprobar si dos matrices son similares

Question

Tengo dos matrices

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

y $$ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

Ellos no diagonalizable. Comparten el mismo polinomio característico, la misma traza, el mismo determinante, autovalores, rango. ¿Qué podía utilizar más para decir si son similares o no?

Answer 1

La primera de las matrices está en la forma canónica de Jordan, que también debe ser de la forma canónica de Jordan de la segunda (porque el autovalor $2$ tiene multiplicidad algebraica $2$ pero geométricas multiplicidad $1$). Así son similares.

Más concretamente, se han $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ &2 \\ &&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ &2 \\ &&1 \end{pmatrix}^{-1} $$

Answer 2

Aunque el uso de Jordania formas Canónicas son probablemente la forma más rápida de respuesta, es posible resolver esta cuestión mediante la fuerza bruta. Queremos averiguar si existe una matriz invertible $P$ tal que $$P \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot P.$$ Denota $$P = \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}$$ esto es equivalente a afirmar que $$\begin{pmatrix} 2a & a + 2b & 3c\\ 2d & d + 2e & 3f\\ 2g & g + 2h & 3i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 2d & 2b + 2e & 2c + 2f\\ 2d & 2e & 2f\\ 3g & 3h & 3i \end{pmatrix}.$$ La comparación de las entradas correspondientes, nos encontramos con que: $$\begin{cases} 2a = 2a + 2d\\ a + 2b = 2b = 2e\\ 3c = 2c + 2f\\ 2d = 2d \\ d + 2e = 2e\\ 3f = 2f\\ 2g = 3g\\ g + 2h = 3h\\ 3i = 3i \end{casos}.$$ Esto es equivalente con $$\begin{cases} d = 0\\ a = 2e\\ c = 2f\\ 0 = 0\\ e = e\\ f = 0\\ g = 0\\ h = 0\\ 3i = 3i \end{casos}.$$ Y a partir de la ecuación 3 y 6, también tenemos que $c = 0$. Por lo tanto, nos encontramos con que $$a = 2e, b = b, c = 0, d = 0, e = e, f = 0, g = 0, h = 0, i = i,$$ así que podemos aprovechar $b = 0$ y encontramos que $$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ya que había una libre elección de los $b, i$ pero queremos $P$ a es invertible, por lo que no podemos tomar a $i = 0$ (sino de cualquier otro valor) y tomamos $b = 0$ (por lo $P$ es claramente invertible).

Así que esta es una manera de averiguar si ambas matrices son similares o no (si a usted le han encontrado una contradicción en el sistema, entonces ellos no están (o si el resultado de la matriz de $P$ a no es invertible, también son similares). Sin embargo, como ya he mencionado: si usted sabe acerca de la forma canónica de Jordan, siempre el uso de este enfoque, ya que es claramente mucho más corto!