En algunos apuntes que tengo, el autor deriva la expectativa de valor de los números de ocupación para un sistema discreto de fermiones de la siguiente manera:
Considerar a todos los estados que tienen una cierta energía $\varepsilon_s$. Allí será el $a_s$ dichos estados, y $n_s$ de las partículas que ocupan estos estados. Entonces, el número de configuraciones en este nivel de energía es $$ W_s = \frac{a_s!}{n_s!\left(a_s-n_s\right)!}$$
Ahora bien, si se considera a todos los niveles de energía, el número total de estados posibles para que todo el sistema es $$ W = \prod_s W_s $$ donde $s$ enumera los niveles de energía. (Creo que countably infinitamente muchos niveles no debería ser un problema, ¿lo harían?)
Ahora, uno puede intentar maximizar la entropía $S=k\ln\left(W\right)$ dentro de las limitaciones que el número de partículas es fijo, $N=\sum_s n_s$, como es la energía total, $E=\sum_s n_s\varepsilon_s$. La introducción de los multiplicadores de Lagrange $\alpha$ $\beta$ en $$ \Lambda := \frac{S}{k} - \alpha \left(\sum_s n_s - N\right) - \beta \left(\sum_s n_s \varepsilon_s - E\right) $$ de hecho se encuentra en un extremo de $\Lambda$ $$ n_i = \frac{a_i}{1+\exp\left(\alpha+\beta\varepsilon_i\right)} $$ que es, hasta un factor, la de Fermi-Dirac estadística una vez que los multiplicadores de Lagrange están relacionados identificado a ser$\alpha = - \frac{\mu}{k_B T}$$\beta=\frac{1}{k_B T}$.
Ahora, en un lado de la observación, las notas de la conferencia afirmación de que, si uno había asumido un sistema clásico donde $W = a_s^{n_s}$, uno habría obtenido de Boltzmann estadísticas: $n_s = \exp\left(-\alpha-\beta \epsilon_s\right)$.
Supongo que en lugar de $W$, el autor quiso escribir $W_s$. Desde el formulario de $W_s$, llego a la conclusión de que el sistema bajo consideración ha discretos niveles de energía, y que las partículas no obedecen el principio de Pauli y son distinguibles el uno del otro. En estas circunstancias, $a_s^{n_s}$ parece dar el número de configuraciones en el nivel de energía $\epsilon_s$, el número total de configuraciones de nuevo se $W=\prod_s W_s$.
Sin embargo, $S$ ahora es lineal en la $n_s$, por lo que la diferenciación de las nuevas $\Lambda$ con respecto a algunas de las $n_i$ da una expresión independiente de cualquiera de las $n_k$.
¿Qué salió mal? ¿Por qué el procedimiento parece funcionar en el primer caso, pero no en este? O ¿puedo hacer una (conceptual?) error en alguna parte a lo largo de la línea?
Cualquier entrada sería muy apreciada!
