Si dejamos $$S = \{ e^{q\pi i} : q\in Q \} $$ Demostrar que para cada una de las $ n \ge 1$ hay un único subgrupo cíclico de orden $n$ $S$ y la unión de estos subgrupos cíclicos es $S$. Cualquier ayuda en esto?
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manthanomen
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Los elementos de $S$ son números complejos. El grupo de operación es compleja multiplicación y el elemento de identidad es $1 = e^{2\pi i}$. Por lo $x \in S$ se encuentra en una copia de $\mathbb Z/ n \mathbb Z$ si y sólo si es un $n$th raíz de la unidad. Tenemos fórmulas explícitas para las raíces de la unidad. Esto va a demostrar la existencia. Desde el teorema fundamental del álgebra, sabemos que hay exactamente $n$ raíces de la unidad. Esto va a demostrar la unicidad.
polbos
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$S_n = \{ e^{2 \pi i \frac{m}{n}} : m\in \{0...n-1\} \}$
$(S_n,\cdot)$ es cíclico de orden n (puede mostrar el isomorfismo con $\mathbb Z_n$)
Por la singularidad del uso de un argumento en el generador del subgrupo (mostrar que si $x\in S \ x^n=1$$x \in S_n$ )
1)$ \forall n \ S_n\subset S \implies \bigcup_{n=1}^{\infty}S_n \subset S$
2)$ x \in S\implies \ x=e^{i \pi q}, q \in Q \implies x=e^{i \pi \frac{m}{n}} \ x\in S_n$ para algunos n $\implies S\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}S_n$
$1)+2)\implies S=\bigcup_{n=1}^{\infty}S_n$
