Dejemos que $A \in L(V,W)$ sea una inyección y $W$ un espacio de producto interno con el producto interno $\langle \cdot,\cdot\rangle $ . Demostrar que un producto interno válido en $V$ se define con la fórmula $[x, y] = \langle Ax, Ay\rangle $
$L(V, W)$ = El conjunto de todos los mapeos lineales (operadores lineales) de V a W
Para demostrar esto, si estoy en lo cierto, necesito mostrar que las cuatro propiedades de un espacio de productos internos se aplican sobre esta fórmula:
1. $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y,x\rangle }$
2. $\langle \alpha x, y\rangle = \alpha\langle x,y\rangle $
3. $\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle $
4. $\langle x,x\rangle \space \ge 0 \space \space \forall x$
4.' $\langle x,x\rangle \space = 0 \Longleftrightarrow x=0$
4.
$ [x, x] = \langle Ax, Ax\rangle , Ax \in W$ y como $W$ es un espacio de producto interno, $\langle Ax, Ax\rangle \space \ge 0$ implica $[x, x] \ge 0$ .
4.'
Ya que A es una inyección: $Ax = 0 \implies x = 0$ y como $W$ es un espacio de producto interno y $Ax \in W \implies \langle Ax, Ax \rangle = 0 \implies Ax = 0 \implies [x,x] = 0 \Longleftrightarrow x=0$
3.
$[x+y,z] = \langle A(x+y), Az\rangle = A$ es lineal $= \langle Ax + Ay, Az\rangle = Ax, Ay, Az \in W$ y $W$ es un espacio de producto interno $= \langle Ax, Az\rangle + \langle Ay, Az\rangle = [x,z] + [y,z]$
2.
$[\alpha x, y] = \langle A(\alpha x), Ay\rangle = A$ es lineal $ = \langle \alpha (Ax), Ay \rangle = W$ es un espacio de producto interno $ = \alpha \langle Ax, Ay\rangle = \alpha [x, y]$
1.
$[x, y] = \langle Ax, Ay \rangle = W$ es un espacio de producto interno $= \overline{\langle Ay, Ax\rangle } = \overline{[y, x]}$
Pero esto me parece un poco fácil, ¿acaso concluí algo que no se puede concluir tan fácilmente o tal vez es mi enfoque para probar esto completamente equivocado?
