Esta respuesta será más o menos un resumen de partes seleccionadas del capítulo 2, en el libro Integración numérica geométrica , 2ª edición, por Hairer (no el medallista Fields, sino su padre), Lubich y Wanner.
Por definición, un método de colocación se especifica eligiendo números reales distintos $c_1,\ldots,c_s$ (a menudo desde el intervalo $[0,1]$ ), y definiendo el llamado polinomio de colocación $u(t)$ de grado $s$ a través de las condiciones
- $u(t_0)=y_0$
- $\dot{u}(t_0+c_ih)=f(t_0+c_ih, u(t_0+c_ih)), i=1,\ldots,s$
La solución numérica se denomina $y_1=u(t_0+h)$ .
Así que, efectivamente, el $c_i$ determinar los intervalos en los que debemos interpolar la solución. En cuanto a la conexión con los métodos de cuadratura, estos $c_i$ se dan en la columna más a la izquierda del cuadro de Butcher (esto respondería a la primera mitad de la pregunta "¿Es correcto...?"). Y sí, tendremos que interpolar entre los puntos de colocación utilizando el polinomio de interpolación de Lagrange en lo siguiente (respondiendo a la segunda mitad de la pregunta "¿Es correcto?").
Entonces, ¿cuál es la diferencia entre colocación y Runge-Kutta? Respuesta corta: no hay (casi, ver los comentarios más abajo) ninguna:
Recordemos que un $s$ -Método de Runge-Kutta por etapas viene dada por
- $k_i=f(t_0+c_ih, y_0+h\sum^s_{j=1}a_{ij}k_j), i=1,\ldots,s$ ,
- $y_1=y_0+h\sum^s_{i=1}b_ik_i$ ,
donde $c_i=\sum_{j=1}^sa_{ij}$
Un teorema de Guillou y Soulé (1969), también probado por Wright (1970) muestran que el método de colocación definido anteriormente es realmente equivalente a un $s$ -Runge-Kutta con coeficientes
- $a_{ij}=\int_0^{c_i}l_j(\tau)d\tau$ ,
- $b_{i}=\int_0^{1}l_i(\tau)d\tau$ ,
donde $l_i$ es el polinomio de interpolación de Lagrange $l_i(\tau)=\prod_{l\neq i} \frac{\tau-c_l}{c_i-c_l}$ .
Prueba: Utilizando las mismas notaciones que antes, definimos $k_i:=\dot{u}(t_0+c_ih)$ . Por interpolación de Lagrange tenemos $\dot{u}(t_0+\tau h)=\sum_{j=1}^s k_jl_j(\tau)$ y si integramos esto desde $0$ a $c_i$ tenemos $$u(t_0+c_ih)=y_0+h\sum_{j=1}^s k_j \int^{c_i}_0 l_j(\tau) d\tau=y_0+h\sum_{j=1}^s k_j a_{ij}$$ Inserta esto en la condición 2 para el polinomio de colocación anterior, y obtenemos
$$k_i=\dot{u}(t_0+c_ih)=f(t_0+c_ih, u(t_0+c_ih))= f(t_0+c_ih, y_0+h\sum_{j=1}^s k_j a_{ij}),$$ por lo que hemos recuperado el $k_i$ de la definición de la Runge-Kutta anterior.
Si integramos $\dot{u}(t_0+\tau h)$ de $0$ a $1$ en lugar de sólo a $c_i$ obtenemos
$$u(t_0+h)=y_0+h\sum_{j=1}^s k_j \int^{1}_0 l_j(\tau) d\tau=y_0+h\sum_{j=1}^s k_j b_{j},$$
y como hemos definido $y_1=u(t_0+h)$ para el método de colocación y la expresión obtenida para $y_1$ coincide con el de la Runge-Kutta anterior, hemos establecido que $y_1$ es la misma tanto para la colocación como para la Runge-Kutta. El razonamiento es reversible, por lo que cualquier Runge-Kutta es de la misma manera equivalente a algún método de colocación. Prueba completa.
En cuanto al cálculo concreto utilizando la colocación, sólo tienes que encontrar el polinomio de colocación a partir de las condiciones 1 y 2 anteriores. Puedes acabar con un esquema implícito. Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Collocation_method para ver un ejemplo concreto y algunos enlaces a otras referencias.
