Tratando de entender el Teorema 2.27 en un reciente documento sobre la función de Chebyshev

Question

En febrero de 2013, Sadegh Nazardonyavi y Semyon Yakubovich publicado en arxiv: más Nítida de las estimaciones de Chebyshev de las funciones de las $\vartheta$ $\psi$.

Tengo una pregunta acerca del Teorema 2.27 en la página 22.

Mi pregunta se refiere a que el argumento para esto:

$$\vartheta(x) < 1.000027651, \;\;(x > 0)$$

Puedo seguir el principio de la prueba:

Vamos a:

$$8\cdot10^{11} \le x < 10^{16} $$

Desde Teorema 2.2.5 en p21 (N. Costa Pereira. Las estimaciones de la función de Chebyshev $\psi(x) - \theta(x)$. De matemáticas. Comp.,44(169):211-221,1985.):

$$\psi(x) - \vartheta(x) > \sqrt{x} + \frac{6}{7}\sqrt[3]{x}, \;\;\;(2,036,329 \le x \le 10^{16})$$

Entonces:

$$\vartheta(x) < \psi(x) - \sqrt(x) - \frac{6}{7}\sqrt[3]{x}$$

Estoy claro en el siguiente paso:

$$ \psi(x) - \sqrt(x) - \frac{6}{7}\sqrt[3]{x} < \left\{1.0000284888 - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{6}{7}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right\}x $$

Puedo ver que:

$$- \sqrt(x) - \frac{6}{7}\sqrt[3]{x} < \left\{- \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{6}{7}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right\}x $$

Estoy claro cómo se estableció que:

$$\psi(x) < 1.0000284888x$$

Si alguien me puede ayudar a entender esto, que va a ser muy útil.

Gracias,

-Larry

Answer 1

Parece que $2.84888\times 10^{-5}$ $\varepsilon$ calcular usando el Teorema 2.12 $x\ge e^{27.407\cdots}=8\times 10^{11}$. Por alguna razón, este aparece como un fragmento en la página 36.