Sé lo que significa decir que dos variables son independientes, pero no entiendo lo que significa decir que dos variables son ortogonales.
Lo siento, no lo entiendo. El producto punto es sum(X_i*Y_i), pero ¿cómo se relaciona esto con E[XY]-E[X]E[Y]?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Para hablar de ortogonalidad hay que definir primero un producto interior.
Si consideramos variables aleatorias con segundo momento finito, covarianza puede mostrarse sea un producto interno. En este caso, dos variables aleatorias son ortogonales si y sólo si no están correlacionadas:
$$ 0 = \text{cov}(X, Y) = \mathbb{E}[X Y] - \mathbb{E}[X] \mathbb{E}[Y] $$
Obsérvese que la covarianza cero no no implican independencia (en general). Para más detalles, véase ¿Covarianza e independencia?
También se podría haber definido el producto interior de otra manera, lo que llevaría a otra noción de ortogonalidad. Sin embargo, la que he descrito me parece más común.
@MarioGS, sum(X_i Y_i) es un caso especial de producto punto para espacios vectoriales euclidianos. Sin embargo, existen otros tipos de espacios vectoriales (el espacio de variables aleatorias con 2º momento finito no es euclídeo), a menudo equipados con una noción de a producto punto
En ese caso, si X e Y son vectores aleatorios, su producto punto no se define por la definición euclidiana de producto punto como X.Y=Suma(Xi*Yi), sino en realidad como X.Y=E[X,Y]-E[X]E[Y], ¿es correcto?
Dario Castañé
Puntos
131
Esto no responde a la pregunta. Para criticar o pedir aclaraciones a un autor, deja un comentario debajo de su entrada.
Claro que sí. He proporcionado otra manera para que el OP entienda lo que significa cuando dos variables aleatorias son ortogonales.
Pero, ¿qué significa decir que dos distribuciones son perpendiculares? ¿Cómo puedo ver dos distribuciones como vectores? ¿Necesito considerar el espacio de Hilbert para hacerlo? En realidad, mis conocimientos sobre el espacio de Hilbert son muy limitados. ¿Puede explicármelo?
