Para encontrar la serie de Taylor de una función se suele utilizar la fórmula $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}(c)}{n!}(z-c)^n$ .
Sin embargo, al calcular la serie de Taylor para $f(z)=\frac{1}{z+3}$ sobre $z=1$ Descubrí que no sólo se puede calcular con la fórmula anterior, sino que también se puede calcular con la fórmula de la serie geométrica.
Método 1:
$f(z)=\frac{1}{z+3}, f'(z)=\frac{-1}{(z+3)^2}, f''(z)=\frac{(-1)(-2)}{(z+3)^3}, ..., f^{n}(z)=\frac{(-1)^n n!}{(z+3)^{n+1}}$
$\Rightarrow f^{n}(1)=\frac{(-1)^n n!}{(1+3)^{n+1}} = \frac{(-1)^n n!}{4^{n+1}}$
$\therefore f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}(1)}{n!}(z-1)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n n!}{4^{n+1}n!} (z-1)^n $
$= \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^n} (z-1)^n$ (para $|z-1|<4$ )
Método 2:
$f(z)=\frac{1}{z+3}=\frac{1}{(z-1)+1+3}=\frac{1}{(z-1)+4}$
$=\frac{1}{4}\frac{1}{1+\frac{z-1}{4}}$
$=\frac{1}{4}\frac{1}{1-(\frac{-(z-1)}{4})}$
$=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{-(z-1)}{4})^n$ utilizando la fórmula de la serie geométrica $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ , $|x|<1$
$=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^n}(z-1)^n$ (para $|z-1|<4$ )
Así que ahora mi pregunta es, ¿por qué dan el mismo resultado? ¿Hay alguna relación entre las series de Taylor y las series geométricas? Además, ¿para qué tipo de funciones dan el mismo resultado? (por ejemplo, polinomios, funciones trigonométricas, etc.) Porque el cálculo de las series de Taylor mediante el método de las series geométricas me resultó mucho más rápido.
