La cigarra aparición de las intersecciones (13 y 17 años)

Question

Hay 2 periódico de la cigarra especies en mi área. Emerge cada 13 años. Los otros cada 17 años. Ambos son números primos, lo que es interesante, pero no necesariamente se relaciona con mi pregunta.

Estaba curioso por saber con qué frecuencia le gustaría tener un año en el que ambos, el 13 y 17 años de las especies, que surgió durante el mismo año. He creado un programa de C# en LinqPad para encontrar la respuesta (código y el resultado a continuación, si usted está interesado), que pasa a ser una vez cada 221 años.

Le comenté a un compañero de trabajo que me gustaría saber qué fórmula matemática que describa la forma de obtener la respuesta. El compañero de trabajo señaló: "multiplica los dos números juntos."

Entonces, mi pregunta es: ¿por qué la multiplicación de las dos frecuencias juntos me dan los años (221) coinciden? Veo que no, pero no soy capaz de visualizar por qué.

   List<int> iteration13 = new List<int>();
   List<int> iteration17 = new List<int>();

   // Pretend they coincide at start of year 2000.  
   int iStartYear = 2000;
   int iEndYear = 3000;

   for(int i = iStartYear; i<= iEndYear; i += 13)
   {
          iteration13.Add(i);
   }

   for(int i = iStartYear; i<= iEndYear; i += 17)
   {
          iteration17.Add(i);
   }

   var intersections = iteration13.Intersect(iteration17);
   intersections.Dump("Intersection of 13 and 17 year cicada emergence");

Resultado:

• 2000
• 2221
• 2442
• 2663
• 2884

Answer 1

Sugerencia Supongamos que ambas especies surgen en los años $y, y'$. Puesto que el $13$-año especies emerge en ambos años, debemos tener $13 | (y' - y)$; del mismo modo, $17 | (y' - y)$. Por eso, $y' - y$ debe ser divisible por $13$$17$, pero el número más pequeño divisible por tanto es $\text{lcm}(13, 17)$. Desde $13$ $17$ son distintos y prime, son coprime, y así el mínimo común múltiplo es $221$, y por lo $221 | (y' - y)$.

Si tuviéramos dos especies con noncoprime aparición de períodos de $p, p'$ años, entonces si hay apariciones siempre coinciden, las coincidencias que se producen cada a $\text{lcm}(p, p')$ años, pero también es posible que nunca coinciden: Considere el caso sencillo en el que $p = p' = 2$, pero una especie surge en los años pares y el otro en los años impares.

Answer 2

Si los ciclos, tener longitudes $m$ años y $n$ años, comenzar coincidiendo en el año 0, entonces ellos coinciden en que cada año es un múltiplo entero de ambas duraciones del ciclo (su "común múltiplo"). Es decir, aquellos años en los que la igualdad de ambos $a \times m$ $b \times n$ para algunos enteros $a$$b$. Si el ciclo de longitudes $m$ $n$ son distintos números primos, como en su caso, el mínimo común múltiplo será su producto. Wikipedia tiene una minuciosa discusión de mínimo común múltiplo.

Answer 3

Digamos que la Cigarra escriba Un emerge cada $17$ años, y el tipo B emerge cada $13$ años.

Por eso, $17$ años a partir de ahora va a volver.

Se B retorno en $17$ años? No, porque el $17$ no es un múltiplo de a $13$.

Bien: Tenemos que esperar a otro $17$ años. Ahora que hemos esperado $34 = 2 \times 17$ años.

Se B vuelta entonces? De forma equivalente: Es $2 \times 17$ un múltiplo de $13$?

No: Cada número puede ser un factor de forma exclusiva en un producto de números primos (este es el llamado teorema fundamental de la aritmética) y, puesto que no es $13$ se encuentran en el producto $2 \times 17$, sabemos que no es un múltiplo de a $13$.

Y así nos espera otro $17$ años, lo que nos pone en $51 = 3 \times 17$ años.

Es $3 \times 17$ un múltiplo de $13$? No: El mismo problema se ha planteado, es decir, no es $13$ en este producto.

Continuando de esta manera, podemos obtener varios otros números. Por ejemplo, $12$ de los ciclos en los que hemos esperado para un total de $204 = 12 \times 17 = 2^2 \times 3 \times 17$ años. Aún así, se puede ver a partir de la descomposición en factores primos que este no es un número divisible por $13$.

Sólo después de $13$ de los ciclos ¿tenemos lo que queremos!

Hemos entonces esperó un total de $221 = 13 \times 17$ años. Escriba Un devuelve, porque un total $13$ ciclos han pasado; tipo B devuelve, porque un total $17$ B los ciclos han pasado.

Ahora: la Verdadera claridad surge sólo si usted comprobar lo que sucede cuando se tienen diferentes números.

Por ejemplo, en lugar de $17$$13$:

• Cómo acerca de $8$$6$?

• Cómo acerca de $8$$4$?

• Cómo acerca de otros temas de su propia elección?