Derivada de un polinomio en un campo de $\mathbb{F}$ $\operatorname{char}(\mathbb{F})=p>0$

Question

Deje $\mathbb{F}$ ser un campo con $\operatorname{char}(\mathbb{F})=p>0$.

La derivada de un polinomio $P(x)={\displaystyle \sum\limits _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}\in\mathbb{F}[x]$$P'(x)=\sum\limits _{i=1}^{n}a_{i}ix^{i-1}\in\mathbb{F}[x]$.

Quiero demostrar que para $f\in\mathbb{F}[x]$:$f'=0\implies f(x)=g(x^p)$ donde $g(x)\in\mathbb{F}[x]$.

Traté de ir por esta definición de la derivada de aquí, pero todo lo que obtuve fue $p\mid ia_i$ todos los $i=1,2,..,n$.

Alguna idea ?

Answer 1

El punto principal que usted tiene que entender aquí es que la declaración de $p |ia_i $ no tiene sentido porque $p$ no $F$ y además no hay ninguna definición razonable de "divisibilidad" en un campo.

Lo que hay que decir es que el$ia_i=\bar i\cdot a_i\in F$,$\bar i\in \mathbb F_p\subset F$.
Por lo tanto, si $p$ no divide $i$ $\mathbb N$ (donde la divisibilidad tiene sentido!), tenemos $\bar i\neq 0\in F$ y desde $\bar i\cdot a_i=0\in F$ deducimos $a_i=0\in F$.
A partir de esto se obtiene $f(x)=g(x^p)$ donde $g(y)=\sum_i a_{ip}y^i$.

Answer 2

Sugerencia: Aunque técnicamente correcto, la noción de que los divide, es decir,$\mid\;$, no es la mejor manera de decir las cosas aquí; en su lugar, ya que $\operatorname{char}(F)=p$, lo que tienes es $ia_i=0$ todos los $i=1,2,\ldots,n$. ¿Qué le dice?