¿Por qué las partículas operador número $\hat{N}$ $\hat{a}^\dagger\hat{a}$ en lugar de $\hat{a}\hat{a}^\dagger$?

Question

Tanto en $\hat{a}^\dagger\hat{a}$ $\hat{a}\hat{a}^\dagger$ son Hermitian, ¿cómo sabemos que uno de ellos representa el número de partículas?

Answer 1

Exigimos que el número de operador tiene la siguiente propiedad:

$$\hat n |0\rangle = 0.$$

Sabemos que

$$\hat a |0\rangle = 0$$

y sabemos que

$$\hat a |1\rangle = |0\rangle$$

y sabemos que

$$\hat a^{\dagger} |0\rangle = |1\rangle. $$

Por lo tanto, se deduce que

$$\hat a \hat a^{\dagger} \ne \hat n$$

desde

$$\hat a \hat a^{\dagger} |0\rangle = \hat a|1\rangle \ne 0.$$

Ahora, queda demostrado que

$$\hat a^{\dagger}\hat a = \hat n. $$

Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Desde que definir por ejemplo, en el caso bosonic

$c_j^\dagger: H_N^S \rightarrow H_{N+1}^S,\quad c_j^\dagger | \ldots n_j \ldots \rangle := \sqrt{n_j+1} |\ldots n_j+1 \ldots \rangle$ $c_j: H_N^S \rightarrow H_{N-1}^S,\quad c_j | \ldots n_j \ldots \rangle := \sqrt{n_j} |\ldots n_j-1 \ldots \rangle$

hace más sence para el uso de $a^\dagger a$, lo que le dará $n_j$ (en lugar de $n_j+1$) como prefactor cuando actúa en un estado de $| \ldots n_j \ldots \rangle $.

Answer 3

El vacío debe tener partículas de número de $0$. En algún detalle: nos gustaría $\hat{N}\ |0\rangle=0$ $\hat{N}=a^\dagger a$ es el único pedido que lo hace. Se sigue de las habituales relaciones de conmutación que $\hat{N} |n\rangle =n\ |n\rangle$ que está en sintonía con la interpretación de $|n\rangle $ $n$- partícula de estado en segunda cuantización.