La solución de un polinomio en una manera más fácil

Question

Necesito resolver el siguiente polynimial: $$(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=15$$

Traté de hacer la multiplicación y terminó con un peor expresión. Hay algunas otras preguntas como esta en la lista de ejercicios que estoy tratando de resolver, y yo sólo quería un método más fácil, sin tener que hacer el "brutal" de trabajo.

Answer 1

Sugerencia: escribir como: $$12\cdot 6\cdot 4 \cdot 3 \cdot \left(x-\frac{1}{12}\right)\left(x-\frac{1}{6}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)=15$$

Tenga en cuenta que la simétrica términos haber sumas iguales $\left(x-\frac{1}{12}\right)+\left(x-\frac{1}{3}\right)=\left(x-\frac{1}{6}\right)+\left(x-\frac{1}{4}\right)$ $=2x - \frac{5}{12}$. Esto sugiere la sustitución de $y=x-\frac{5}{24}\,$ que se desplaza el centro de simetría a $0\,$:

$$ 12\cdot 6\cdot 4 \cdot 3 \cdot \left(y+\frac{1}{8}\right)\left(y+\frac{1}{24}\right)\left(y-\frac{1}{24}\right)\left(y-\frac{1}{8}\right)=15 \\[5px] \ffi \quad 12\cdot 6\cdot 4 \cdot 3 \cdot \left(y^2-\frac{1}{8^2}\right)\left(y^2-\frac{1}{24^2}\right) = 15 $$

El último es un biquadratic que pueden ser resueltos por $y^2\,$, que luego da $y\,$,$x$.

Answer 2

Expansión, obtenemos

$$864 x^4 - 720 x^3 + 210 x^2 - 25 x - 14 = 0$$

El uso de las raíces racionales teorema, entonces, uno puede comprobar que las dos raíces son $x=-1/6$$x=7/12$. Factoring estas, obtenemos

$$864 x^4 - 720 x^3 + 210 x^2 - 25 x - 14 = (6x+1)(12x-7)(12x^2-5x+2)$$

Y por supuesto, la última cuadrática no es factorable $\mathbb R$.

Answer 3

Wolfy dice que las raíces son $-1/6, 7/12, (5\pm i\sqrt{71})/24)$.

El racional podía comprobar manualmente; no los más complejos.