Primitivas raíces de $p$$p^2$.

Question

Es bien sabido que para cualquier raíz primitiva $g$ de un primer $p$, $g$ o $g + p$ es una raíz primitiva de $p^2$

¿Existen números primos para que $g$ es una raíz primitiva de $p^2$ para todas las raíces primitivas $g$$p$. Hace a la inversa existe (es decir, $g$ no es una raíz primitiva de $p^2$ todos los $g$)? ¿Hay algún condiciones generales para que esto sea cierto?

Edit: Como Quimey puntos, 3 y 2 de satisfacer las condiciones respectivamente. Hay otros que no-ejemplos triviales?

Answer 1

Hay un pequeño problema con las preguntas, en que si $g$ es una raíz primitiva de $p$, $g+kp$ realmente debe ser considerada como siendo "el mismo" raíz primitiva de $p$$g$. Para $p$ un extraño prime, hay exactamente $(p-1)\varphi(p-1)$ raíces primitivas de $p^2$, e $\varphi(p-1)$ raíces primitivas de $p$. Para cualquier raíz primitiva $g$$p$, exactamente uno de los números de $g+kp$ donde $0 \le k \le p-1$, no es una raíz primitiva de $p^2$.

Por lo tanto la respuesta a tu pregunta es totalmente dependiente de los números que elegimos como nuestro conjunto completo de representantes de las raíces primitivas de $p$. Así que para atacar a la pregunta, debemos de poner limitaciones en este conjunto de representantes. Una restricción razonable que puede ser el que usted tiene la intención va como sigue.

Definición: Dejar $g$ ser un número entero. Decimos que $g$ es una pequeña raíz primitiva de $p$ si $1\le g<p$ $g$ es una raíz primitiva de $p$.

El siguiente poco resultado da alguna información acerca de su pregunta:
Deje $p$ ser una de las primeras de la forma $4k+1$. A continuación hay una pequeña raíz primitiva de $p$, que también es una raíz primitiva de $p^2$.

Prueba: Supongamos $g$ ser una raíz primitiva de la extraña prime $p$. Supongamos también que $g$ no es una raíz primitiva de $p^2$. Este es el caso de la fib $g^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}$.

Si $p$ es de la forma$4k+1$, $-g$ también es una raíz primitiva de $p$, e $(-g)^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}$. Pero, a continuación, $p-g$ es una raíz primitiva de $p^2$.

Por lo tanto para cualquier pequeña raíz primitiva $g$ de un primo de la forma $4k+1$, al menos uno de $g$ o $p-g$ es una raíz primitiva de $p^2$.

Añadido: El OP en un comentario le pidió una prueba de que si $g$ es una raíz primitiva de $p$, exactamente uno de $g+kp$ ($0\le k \le p-1$) falla al ser una raíz primitiva de $p^2$. Detallada de la prueba es demasiado largo para un comentario, así que hemos añadido a la respuesta anterior. No he visto el resultado demostró de forma explícita, pero la prueba es casi el mismo que el de costumbre, la prueba de que al menos uno de $g$ $g+p$ es una raíz primitiva de $p^2$.

Por un recuento de argumento, hay $\varphi(p-1)$ números, pares incongruentes modulo $p^2$, los cuales son de raíces primitivas de $p$, pero no de $p^2$. Por lo que será suficiente para demostrar que no hay dos de estas son congruentes modulo $p$.

Supongamos lo contrario $g_1$ $g_2$ son de raíces primitivas de $p$, pero no de $p^2$, son incongruentes modulo $p^2$, pero congruentes modulo $p$. A continuación, $g_2=g_1+lp$ para algunos entero $l$.

Puesto que el $g_i$ no son de raíces primitivas de $p^2$, pero son de raíces primitivas de $p$, tienen orden de $p-1$ modulo $p^2$. Por lo tanto $g_1^{p-1}\equiv g_2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}$. Por el Teorema del Binomio, $$g_2^{p-1}=(g_1+lp)^{p-1}\equiv g_1^{p-1}+(p-1)(lp)g_1^{p-2}\pmod{p^2}.\tag{$\ast$}$$ Pero ya que cada uno de $g_2^{p-1}$ $g_1^{p-1}$ es congruente a $1$ modulo $p^2$, se deduce que el $(p-1)(lp)g_1^{p-2}$ es divisible por $p^2$. Por lo tanto $l$ es divisible por $p$, y por lo tanto $g_1$ $g_2$ son congruentes modulo $p^2$, contrario a la hipótesis.

No necesitamos han utilizado un recuento de argumento para probar la existencia de la singularidad. La relación $$g_2^{p-1}\equiv g_1^{p-1}+(p-1)(lp)g_1^{p-2}\pmod{p^2}$$ puede ser utilizado directamente para mostrar que para cualquier raíz primitiva $g_1$$p$, hay un $l$ tal que $g_1+lp$ no es una raíz primitiva de $p^2$. Es sólo una cuestión de resolver la adecuada congruencia, como en la prueba de Hensel de elevación.