Los cocientes de C*-álgebras de

Question

Es sabido que cada unital separables C*-álgebra es el cociente del total del grupo C*-álgebra $C^*(F_I)$ donde $F_I$ es el grupo libre generado por algún conjunto de índices $I$.

Podemos colocar el supuesto de separabilidad aquí?

Las eventuales referencias que se agradece.

Answer 1

Creo que la idea en mi comentario de las obras en detalle de la siguiente manera. Probablemente, uno puede simplificar el argumento mediante la aplicación de las adecuadas propiedades universales del grupo $C^\ast$-álgebra en el grupo libre $F(U)$ sobre el unitaries $U$$A$, pero no estoy muy familiarizado con ellas, así que aquí es una peatonal de la descripción:

Por el Gelfand-Naimark teorema podemos asumir que $A$ es isométricamente contenidos como unital $C^\ast$-subalgebra de $B(H)$ para un espacio de Hilbert $H$. El unitaries $U$ $A$ actuar como unitaries en $H$, por lo que tenemos una representación unitaria de $U$$H$. Este unitaria de representación se extiende a un *representación de la compleja grupo de álgebra $\mathbb{C}[U]$. Observe que la imagen de $\mathbb{C}[U]$ bajo esta representación está contenida en $A$. Por la definición del grupo $C^\ast$-álgebra $C^\ast(U)$ esta representación se extiende únicamente a un *-homomorphism $\rho \colon C^\ast(U) \to B(H)$.

Yo reclamo que $\rho$ es un homomorphism de $C^\ast(U)$ a $A$. Desde $\rho$ es continua y $\rho(\mathbb{C}[U]) \subseteq A$ $\mathbb C[U]$ es denso en $C^\ast(U)$,$\rho(C^\ast(U)) \subseteq A$. Por otro lado, los elementos de $U$ son unitarias en $C^\ast(U)$, por lo que tienen la norma. Desde $\rho$ es lineal y la norma decreciente, la imagen de la unidad de la bola de $C^\ast(U)$ contiene el casco convexo de la unitaries de $A$. Pero este convex hull es denso en la unidad de la bola de $A$ por el Ruso-Tinte-Gardner teorema y por la asignación abierta teorema se sigue que $\rho$ es a $A$, como se reivindica.

Siguiente, recordemos que el grupo $C^\ast$-álgebra es functorial con respecto al cociente homomorphisms, y $U$ es el cociente de la libre grupo de $F(U)$ generado por el conjunto subyacente $U$, por lo que tenemos una surjective *-homomorphism $C^\ast(F(U)) \to C^\ast(U)$ y que la composición de este surjection con $\rho$ podemos obtener la deseada surjection $C^\ast(F(U)) \to A$ desde el grupo $C^\ast$-álgebra de algunos grupos gratis.

Si $A$ es separable, es suficiente para tomar una contables subconjunto denso de la unitaries en $A$, y el argumento anterior muestra que cada separables $C^\ast$-álgebra es un cociente de $C^\ast(F_\infty)$ donde $F_\infty$ es el grupo en countably muchos generadores, así que podemos ver que $C^\ast(F_\infty)$ es universal para separables $C^\ast$-álgebras en el mismo sentido que la $\ell_1$ es universal para los espacios de Banach separables.