Rolle teorema en el intervalo infinito

Question

Tenemos : f(x) es continua en a $[1,\infty]$ y diferenciable en a $(1,\infty)$

$\lim_{x \to \infty}f(x) = f(1)$

tenemos a $\textbf{prove}$ que : no es $b\in(1,\infty)$ tal que $f'(b) = 0$

Estoy seguro de que tenemos que usar el teorema de Rolle, así que he intentado usando el Valor medio teorema y usando la definición de límite en $\infty$

Alguna idea de cómo puedo usar ?

Actualización :

después de la búsqueda de las respuestas que he conseguido :

Estoy teniendo problemas para encontrar x1$\neq$x2 tales que f(x1)=f(x2)

*Necesito una solución oficial

Answer 1

Deje $g(x)=f\bigl(\frac 1x\bigr)$$x\in (0,1]$$g(0)=f(1)$. A continuación, $g$ es continua en a $[0,1]$ y derivable en a $(0,1)$. Por el Teorema de Rolle, existe $c\in (0,1)$ tal que $g'(c)=0$, por lo tanto $$0=g'(c)=-f'\Bigl(\frac 1c\Bigr)\frac 1{c^2}$$ por lo tanto si $b=\frac 1c$,$f'(b)=0$$b\in (1,+\infty)$.

Answer 2

Esquema:

Usted puede, y debe, asumir que $f$ no es constante.

Pick $a$, de modo que $f(a)\ne f(1)$ (si no $a$ existe $f$ es una función constante).

Elija un valor de $c$ entre $f(1)$$f(a)$. Utilice el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que hay un $x_1\in(1,a)$$f(x_1)=c$.

Utilice el Teorema del Valor Intermedio y su condición límite para demostrar que hay un $x_2\in(a,\infty)$$ f(x_2)=c$.

Ahora usted está listo para aplicar el Teorema de Rolle.

Answer 3

Una alternativa a la existente respuestas:

Debido a su hipótesis, la función definida por: $$g(t) = \begin{cases} f(\tan(t)) & t \in [\pi/4, \pi/2) \\ f(1) = \lim_{x \to \infty} f(x) & t = \pi/2 \end{cases}$$ is continuous on $[\pi/4, \pi/2]$, differentiable on $(\pi/4, \pi/2)$, and $g(\pi/4) = f(1) = g(\pi/2)$. Apply Rolle's theorem to get $t \[\pi/4, \pi/2]$ such that $g'(t) = 0$.

Calcular $g'(t) = \tan'(t) f'(\tan(t)) = (1 + \tan(t)^2) f'(\tan(t)) = 0$. Por lo tanto para $x = \tan(t) \in (1, \infty)$, $$f'(x) = 0$$

Answer 4

Si $f$ es constante, la declaración es trivial. Si es no, entonces tendremos un $x_0$ tal que $f(x_0)\neq f(1)$.

• Si $f(x_0) > f(1)$: Definir el punto medio entre el$f(1)$$f(x_0)$$y=\frac{f(x_0)+f(1)}{2}$. Debido a que la función tiene valores de $f(1)$ $f(x_0)$ en el intervalo de $[1,x_0]$, no existe el $a$ que $f(a) = y$. Porque el límite de $f(x)$$x\rightarrow\infty$$f(1)$, existe un $M$ que $f(x) < y$ todos los $x\geq M$. Debido a que la función $f$ tiene valores de $f(x_0)$ $f(M)<y$ en el intervalo de $[x_0, M]$, existe un punto de $b$ que $f(b)=y$. Ahora utilice el teorema de Rolle en $[a,b]$.

• Si $f(x_0) < f(1)$: Definir la función $g(x) = -f(x)$ y usar el argumento de la anterior en $g$.

Answer 5

Pensar acerca de dónde $f(1)$ es. Escoger un lugar, cualquier lugar. A continuación, piensa en todos los puntos después. Es continua y diferenciable, literalmente, en todas partes, pero posiblemente $f(1)$, con lo que tenemos que pensar acerca de cómo podría no ser plana en algún lugar.

En primer lugar, sabemos que sería plana en todas partes si $f(x)=f(1)$ una constante.

A continuación, se nos dibuja una línea entre el$x = 1$$\infty$. En el infinito, tenemos $f(\infty)=f(1)=K$ algunos finito constante. Entonces pensamos acerca de cómo se dibuja una línea desde 1 a $\infty$ . Si es plana, es decir,$f(x)=f(1)=K$, entonces es obviamente cierto que $f'(x)=0$ en todas partes entre el$1$$\infty$.

Ahora, considere el caso donde no es constante.

Entonces sabemos que hay un máximo (o el mínimo, por simetría) $m$ tal que $|f(m)|=|M|>k = f(1)$ en el número de línea. Ahora desde $f$ es diferenciable en a $m \in (1,\infty)$, e $M$ es un max/min, debe ser suave y ambos lados suavemente el enfoque de la planitud. Esta $m$ es el $b$ usted está tratando de demostrar que existe.