Hay una profunda relación entre estas diferentes aplicaciones de la función exponencial?

Question

Aquí está una lista de algunas aplicaciones de la función exponencial.

1) La exponencial de la cartografía en la Mentira de la teoría.

Pongo esto en primer lugar porque mi intuición me dice que este debe ser el más fundamental, o profunda, la manera de pensar acerca de la función exponencial. A menudo me han engañado por mi intuición sin embargo, y la razón principal por la que me siento fuertemente sobre esto es porque de lo fundamental que considero Mentira teoría.

2) La Transformada De Fourier De La Serie

3) las Raíces de la Unidad

4) Distribución De Gauss

5) La Distribución De Boltzmann

Sin duda hay otras aplicaciones, pero siempre me molestó que no podía usar la simetría métodos para ver cómo (todas) estas aplicaciones están relacionadas. Es posible que no hay ninguna forma de hacerlo, es decir, que es sólo un accidente feliz que la función exponencial tiene estas aplicaciones y que no está relacionado con cualquier continua simetrías?

Answer 1

Preguntas y Respuestas en el MSE y otras dos referencias:

• Ad 1) : Cómo deducir estos Mentira Serie de fórmulas y de la cadena de referencias
• Ad 3) : Ambiguo representación de la matriz de la unidad imaginaria?idem
• Extra : Donde el exponente en la transformada de Laplace viene de
• Ad 4) : Desenfoque gaussiano como una muestra de la aplicación del artículo Adicional

Actualizaciones.
Ad 2). La transformada de Fourier es un caso especial de la doble cara de la transformada de Laplace: $$ F(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-pt}\,f(t) dt \quad \Longrightarrow \quad F(i\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega t} f(t)\,dt $$ La transformada de Fourier, a su vez, es una generalización de la compleja Serie de Fourier: comience con la ecuación (20) en el Wolfram referencia y leer hasta el final.

Ad 5). En esta referencia

• La derivación de la Distribución de Boltzmann

se argumenta en la página 23 (con obviamente un error tipográfico en ella) que el de distribución de probabilidad de Boltzmann $f(E)$ debe tener la siguiente forma: $$ f(E_1) \times f(E_2) = h(E_1+E_2) $$ Vamos a elaborar sobre esto un poco: $$ f(E_1) \times f(E_2) = h(E_1+E_2) \quad \Longrightarrow \quad h(E) = h(E+0) = f(0)f(E) $$ Derivado: $$ h'(E) = f(0)f'(E) = \lim_{\delta\to 0} \frac{h(E+\delta)-h(E)}{\delta} = \lim_{\delta\to 0} \frac{f(E)f(\delta)-f(0)f(E)}{\delta} =\\ f(E)\,\lim_{\delta\to 0} \frac{f(\delta)-f(0)}{\delta} = f(E) f'(0) \quad \Longrightarrow \quad f'(E) = \frac{f'(0)}{f(0)} f(E) $$ Continuando en términos del artículo: $$ \frac{df(E)}{f(E)} = \frac {dE}{E_c} \quad \Longrightarrow \quad f(E) = e^{-E/E_c} $$ Que es el Ansatz para la distribución de Boltzmann.

Ad 3). De acuerdo a Wikipedia, De Moivre la fórmulaes: $$ \left[cos(x)+i\sin(x)\right)^n = \cos(nx) + i\sin(nx) $$ Y esto puede ser probado por cualquier entero $n$ , bastante independiente de la fórmula de Euler. Es más bien al revés: debido a que el patrón de $\;f(x)^n = f(nx)\;$ , de Moivre la fórmula puede ser considerado como una heurística para la fórmula de Euler.
Pero uniquesolution es del todo correcto: <cita> Probablemente el más hecho fundamental acerca de él es que es el único medible de la función para la que $f(x+y)=f(x)f(y)$ todos los $x,y$ </quote> Podemos imitar este comportamiento de $\,e^x$ con la función de $f(x) = \cos(x)+i\sin(x)$ ? De la trigonometría sabemos que: $$ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)\\ \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) $$ Por lo tanto: $$ f(x+y) = \cos(x+y) + i \sin(x+y) =\\ \left[\cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)\right] + i \left[\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\right] =\\ \left[\cos(x) + i \sin(x)\right]\left[\cos(y) + i \sin(y)\right] = f(x)f(y) $$ Así que nuestro $f(x)$ se comporta como una función exponencial.

Answer 2

Las características más importantes de la función exponencial, que hacen de $e^x$ ocurren en la que gran parte de las aplicaciones son

a) la identidad de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$

y sus implicaciones para la definición de complejo trigonimetric funciones, es decir,

$$e^{i \cdot x} = \cos x + i \sin x$$

(como la transformación de Fourier, de la unidad de raíces)

b) el hecho de que $\frac{d}{dx}e^x = e^x$

que permite a $e^x$ ocurren naturalmente en muchas de las soluciones de ecuaciones diferenciales, que a menudo son los más básicos de la formulación de las leyes naturales (crecimiento/caída, distribución de gauss).