Una desigualdad $\frac1{(n+1)^{1/(n+1)}}-\frac1{n^{1/n}}\le \frac1{n+1}$

Question

He gráficamente las funciones $f,g:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R}$ definido por $$f(x)=\frac1{(x+1)^{1/(x+1)}}-\frac1{x^{1/x}}\mbox{ and } g(x)=\frac1{x+1}$$ y parece que $f(x)\le g(x)$ todos los $x>0$. Sin embargo, sólo necesito el siguiente resultado...

$$\frac1{(n+1)^{1/(n+1)}}-\frac1{n^{1/n}}\le \frac{1}{n+1}\ \ \ \ \forall n\in\mathbb{Z}^+. $$

Podría por favor alguien que me señale en la dirección correcta?

Answer 1

Considere la función $f(x)=x^{-1/x}$ con derivados $f'(x) = f(x)\cdot \frac{\log x - 1}{x^2}$. Quiere mostrar que $$ f(n+1) - f(n) \le \frac{1}{n+1} $$ para todo entero $n$. Para $x \ge 1$, claramente $f(x) \le 1$. Entonces $$ f(n+1) - f(n) = \int_n^{n+1} f'(x) dx \le \int_n^{n+1}\frac{\log x - 1}{x^2} dx $$ El integrando es la disminución de $x > e^{3/2} \approx 4.4$ y por lo tanto $$ f(n+1) - f(n) \le \frac{\log n - 1}{n^2} $$ para $n \ge 5$. El lado derecho se ve fácilmente ser $\le \frac{1}{n+1}$. Para $n < 5$ deseada de la desigualdad se puede comprobar directamente.