¿Puede alguien ayudar a verificar si mi razonamiento es correcto? La forma en que lo veo es que si usamos:
(todas las combinaciones posibles) - (como máximo dos dígitos son iguales) - (exactamente $4$ los dígitos son los mismos)
entonces obtenemos exactamente $3$ los dígitos son los mismos, es decir:
$$9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 - 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 9 - 9$$
¿Es eso cierto?
Usted tiene $10\choose2$ opciones para los dos dígitos a utilizar y $2\choose1$ opciones para las que se repite una tres veces. A continuación, $4$ posible disposición para cada par así elegido (por ejemplo $1222,2122,2212,2221$ ).
Pero entonces tenemos que tener en cuenta el hecho de que $0$ no es un primer dígito legal, por lo que no puede tener $0200$ pero puedes tener $2000$ o $2022$ . Afortunadamente esto es fácil: por simetría, una décima parte de los valores que hemos contado hasta ahora empiezan por un cero, así que multiplicamos por $9/10$ para la respuesta final.
$${10\choose2}{2\choose1}(4) \frac 9 {10}$$ $$=324$$
Para hacerlo más sencillo:
Elige el dígito que se repite tres veces; 10 opciones. Elija el otro dígito; 9 opciones. Elige la posición para el otro dígito; 4 opciones.
Ahora descuente las opciones con un cero en primer lugar multiplicando por 9/10.
$$10\times9\times4\times\frac 9 {10} = 9\times9\times4=324$$
En lugar de utilizar $\binom{10}{2}\binom{2}{1}$ Sugiero $10\times 9$ desde el principio. Buen uso de la simetría, por cierto.
Primero haz el caso en el que ninguno de los dígitos es $0$ .
Hay $9$ formas de elegir el dígito que se repite $3$ tiempos y $8$ maneras de elegir el otro, después de esto hay $4$ formas de ordenar los dígitos. Así que $9\times8\times 4$ .
Ahora veremos los casos en los que el dígito $0$ repite $3$ tiempos. Es evidente que el $9$ los números son $1000,2000,3000,\dots,9000$ .
Por último, examinamos los casos en los que $0$ aparece una vez. Hay $9$ formas de elegir el otro dígito y $3$ formas de pedir.
Así que la respuesta final es $9\times8\times4+9+9\times 3$ .
Se equivoca al pensar que $9*10*10*9$ cuenta $4$ números con un máximo de dos dígitos iguales. Lo que elijas para el primer dígito, puedes elegirlo para el segundo y el tercero. Para contar estos números probablemente se necesitaría una expresión con múltiples términos.
En su lugar, yo recomendaría contarlo de esta manera: tienes dos casos, o los tres últimos dígitos son iguales, o uno de los tres últimos dígitos es diferente de los otros tres dígitos. Eso te dará una forma más fácil de contar esto.
EDIT: Viendo todas las soluciones diferentes, podría dar una solución completa. Si los tres últimos dígitos son iguales, el primer dígito $a$ puede ser cualquier cosa menos $0$ y los tres últimos dígitos pueden ser cualquier cosa menos $a$ , por lo que se obtiene $9*9$ . Si uno de los tres últimos dígitos es el impar fuera, entonces hay $3$ opciones para saber cuál es. Entonces los tres mismos dígitos $a$ puede ser cualquier cosa excepto $0$ (ya que incluyen el primer dígito), y el último dígito puede ser cualquier cosa excepto $a$ , por lo que se obtiene $3*9*9$ . Entonces su respuesta es $9*9+3*9*9=4*9*9$ .
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Elige qué dígito se repite. Si es cero, no puede ser el primer dígito, así que elige cuál es el primer dígito. Si no es cero, elige cuál es el otro dígito. Si ese otro dígito era cero, elige cuál de los tres espacios que no están al frente ocupa. Si ese otro dígito no era cero, elige cuál de los cuatro espacios ocupa.