Schur polinomios en 1 y -1 del

Question

El Schur polinomio en $d$ variables $s_\lambda (x_1,x_2,\ldots,x_d)$ para un valor entero de la partición de $\lambda$$k$, tiene una forma simple, cuando evaluamos a todos los argumentos en uno, es decir,$s_\lambda (1,\ldots,1)$. Podemos escribir la expresión en términos del carácter de la identidad como $$ s_\lambda (1,\ldots,1) = \frac{1}{k!} \chi^\lambda(\mathbb{1}) z_\lambda(d)\,, \quad {\rm donde} \quad z_\lambda(d) = \prod_{(i,j)\in \lambda} (d+j-i) $$ con el producto tomado el Joven diagrama de $\lambda$. Esto es a menudo escrita de manera más explícita, como $$ s_\lambda (1,\ldots,1) = \prod_{1\leq i<j \leq d} \frac{\lambda_i - \lambda_j +j-i}{j-i}\,. $$ Para nuestros propósitos, dada una partición $\lambda$, $s_\lambda (1,\ldots,1)$ es sólo un polinomio en $d$. Por ejemplo, la partición de $\lambda=\{2,1\}$ da $s_\lambda(1,\ldots,1) = \frac{1}{3}d (d^2-1)$.

Estoy interesado en Schur polinomios de la forma $s_\lambda(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1)$, es decir, un polinomio de $d$ argumentos, evaluado en $a$ 1 $b$ -1, donde:$a+b=d$. Hay una expresión simple para $s_\lambda(1_a,-1_b)$ como un polinomio en $a$$b$?

Soy consciente de que podemos combinar Schur funciones utilizando el Littlewood-Richardson regla como $s_\lambda(x,y) = \sum_{\mu,\nu} c^\lambda_{\mu\nu} s_\mu (x) s_\nu (y)$. Mediante el cálculo de los coeficientes y el uso de las expresiones de arriba parece que no puedo encontrar la expresión que desea. Hay una forma más simple para calcular los $s_\lambda(1_a,-1_b)$? También, hay una manera simple de calcular los coeficientes de $c^\lambda_{\mu\nu}$ en términos de caracteres $\chi^\lambda$?

Answer 1

Publicar una respuesta en caso de que alguien estaba interesado. No parece ser un bonito y compacto de la expresión como en el de todos los 1 caso. Pero hay un enfoque más sencillo que no se trata de Littlewood-Richardson coeficientes, sino que sólo requiere la localización de la expresión de la derecha en Macdonald 'Simétrico de Funciones y Sala de Polinomios de texto'.

El Schur polinomio puede ser escrito como $$ s_\lambda(x_1,\ldots,x_d) = \sum_{\rho \vdash k} z^{-1}_\rho \chi^\lambda_\rho \, p_\rho(x_1,\ldots,x_d) $$ donde $\chi^\lambda_\rho$ es el carácter $\chi^\lambda(\sigma)$ evaluados sobre los elementos de la $S_k$ de ciclo de tipo $\rho$, $z_\lambda = \prod_i i^{m_i} m_i!$, donde $m_i$ es la multiplicidad de $i$ en la partición, y $p_\rho$ es el poder de suma polinomio simétrico en la partición $\rho$. Sabiendo esto, podemos simplemente escribir $$ s_\lambda(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1) = \sum_{\rho \vdash k} z^{-1}_\rho \chi^\lambda_\rho \, \estilo de texto\prod_{\rho_i} (a+(-1)^{\rho_i} b)\,, $$ lo que da un polinomio en $a$$b$, como se desee. Por ejemplo, la partición de $\lambda=\{1,1\}$ da $s_\lambda(1_a,-1_b)=\frac{1}{2}((a - b)^2-(a+b))$.