Definición
Deje $X$ a un y $\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)$. La familia $\mathcal{E}$ es elemental si:
- $\emptyset \in \mathcal{E}$;
- $E \cap F \in \mathcal{E}$ por cada $E , F \in \mathcal{E}$;
- Para todos los $E \in \mathcal{E}$, hay un número finito de familia ${\{E_i\}}_{i = 1}^n \subset \mathcal{E}$, $E_i \cap E_j = \emptyset$ si $i \neq j$, de tal manera que $$ E^c = \bigcup_{i = 1}^n E_i\mbox{.} $$
Quiero demostrar que la $$ \mathcal{A} = \left\{\bigcup_{i = 1}^n E_i : {\{E_i\}}_{i = 1}^n \mbox{ es la desunión de la familia en } \mathcal{E} \right\} $$ es un álgebra en $X$. Ya he demostrado que $X \in \mathcal{A}$ $E^c \in \mathcal{A}$ si $E \in \mathcal{A}$. Fijo $E , F \in \mathcal{A}$, quiero mostrar ahora que $E \cup F \in \mathcal{A}$. Tenemos que $$ E = \bigcup_{i = 1}^n E_i \qquad \mbox{ y } \qquad F = \bigcup_{j = 1}^m F_i\mbox{,} $$ ser ${\{E_i\}}_{i = 1}^n$ ${\{F_i\}}_{j = 1}^m$ dos separe las familias en $\mathcal{E}$, así que podemos escribir $$ E \copa F = \bigcup_{k = 1}^{n + m} A_k\mbox{,} $$ donde $$ A_k = \left\{ \begin{array}{lcl} E_k & \mbox{ if } & k \leq n\mbox{;} \\ F_{k - n} & \mbox{ if } & k > n\mbox{.} \end{array} \right. $$ Si fijamos $k , l \in \{1 , \ldots , n + m\}$, $A_k \cap A_l = \emptyset$ si $k \leq n$ $l \leq n$ o $k > n$$l > n$, por lo que sólo tengo que mostrar que $A_k \cap A_l = \emptyset$ si $k \leq n$ $l > n$ o $k > n$$l \leq n$. Los dos casos tienen la misma dificultad, por lo que suponemos que, por ejemplo,$k \leq n$$l > n$. En este caso, $A_k = E_k$$A_l = F_{l - n}$. Cómo puedo probar que $E_k \cap F_{l - n} = \emptyset$? Mis intentos no tienen ningún resultado. Gracias de antemano.
