Ley fuerte de grandes números y convergencia uniforme en conjuntos compactos

Question

Deje que $f: \mathbb {R}^d \to\mathbb {R}$ ser una función continua y dejar $(X_i)_{i \in\mathbb {N}}$ ser independientes y copias idénticas de la variable aleatoria $X$ . Supongamos que todas estas variantes aleatorias son integrables. Sé por la fuerte ley de los grandes números que $$ \lim_ {n \to\infty } \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n f(X_i) = E[f(X)] $$ con probabilidad uno. Supongamos que tenemos una secuencia de funciones continuas $(f_i)_{i \in\mathbb {N}}$ que converge en $f$ uniformemente en conjuntos compactos. ¿Sostiene que $$ \lim_ {n \to\infty } \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n f_n(X_i) = E[f(X)] $$ con probabilidad uno?

Sé que si la convergencia a $f$ es uniforme, entonces lo anterior es probablemente cierto. Tengo curiosidad por saber si también es válido para la convergencia uniforme en conjuntos compactos.

Editar: Mis pensamientos.

Lo siguiente es para mostrar que si la convergencia a $f$ es uniforme, entonces lo anterior es cierto. Defina $$ a_n := \sup_ {x \in\mathbb {R}^n} |f(x) - f_n(x)|. $$ Obsérvese que $$ \lim_ {n \to\infty } \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n f(X_i) - f_n(X_i) + f_n(X_i) = E[f(X)] $$ $$ \implies \lim_ {n \to\infty } \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n f_n(X_i) - \lim_ {n \to\infty } \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n f(X_i) + f_n(X_i) = E[f(X)]. $$ Por lo tanto, si tenemos una convergencia uniforme entonces $ \lim_ {n \to\infty } a_n = 0 \implies $ tenemos el resultado deseado usando los medios de Cesaro para mostrar que la última suma a la izquierda de la ecuación va a cero.

¿Existe un argumento similar o mejor para cuando hay una convergencia uniforme en los conjuntos compactos?

Answer 1

El resultado es falso bajo el supuesto de una convergencia uniforme en conjuntos compactos.

En efecto, que el $X_i$ ser i.i.d. exponencial de la tasa 1, por lo que $P(X_i>x) = e^{-x}$ para $x \geq 0$ .

Para $n \geq 1$ definimos $f_n(x):= |x|$ para $|x| \leq \frac {1}{2} \log n$ definimos $f_n(x) = 2n$ para $|x| \geq \log n$ y definimos $f_n$ para ser interpolado linealmente entre esos valores. Está claro que el $f_n(x)$ convergen en $|x|$ uniformemente en conjuntos compactos. Además, tenemos que $$ \sum_ {n=1}^{ \infty }P(f_n(X_n) = 2n) = \sum_ {n=1}^{ \infty } P(X_n \geq \log n) = \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {1}{n}=+ \infty. $$ En particular, el segundo lema de Borel-Cantelli dice que $f_n(X_n)=2n$ infinitamente a menudo, a.s. Por lo tanto, $$ \limsup_ {n \to \infty } \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n f_n(X_i) \geq 2 >1 = E|X|.$$ Observación: Para que su declaración sea verdadera, necesita una declaración de convergencia más fuerte, por ejemplo, existe alguna $ \epsilon >0$ para el cual $\|(f_n -f) \cdot 1_{[- \epsilon n , \epsilon n]}\|_{ \infty } \to 0$ . De hecho, por el SLLN (o Borel-Cantelli), sabemos que $|X_n| \leq \epsilon n$ para todos pero finamente muchos $n$ a.s.