¿Cómo se $\pi_1(SO(3))$ se refieren exactamente a los camareros truco?

Question

Espero que esto es lo suficientemente grave. Es un hecho bien conocido que la $\pi_1(SO(3)) = \mathbb{Z}/(2)$, lo $SO(3)$ admite, precisamente, uno no trivial de la cubierta, que es de 2 sábana.

Otro hecho bien conocido es que puedes poner un plato en la mano y realizar dos turnos (uno sobre el codo, uno a continuación) en la misma dirección y volver a la posición original.

Estos hechos son conocidos para ser relacionados, y que más o menos puede adivinar por qué. Algunas de configuración del sistema (mano + plato) debe dibujar una ruta en $Spin(3)$ cuya proyección en $SO(3)$ es el cerrado no trivial bucle señaló a la identidad.

El problema es que no puedo hacer este precisas, ya que no es claro para mí que es la variedad que parametrizes la posición del codo y la mano. Es allí una manera limpia para ver cómo $Spin(3)$ entra en juego?

Answer 1

Spin(3) entra en el juego sólo como el que cubre el espacio de SO(3), creo. Hacerlo todo en SO(3). Dibujar una curva a través de su cuerpo a partir de un punto fijo, como el pie, la pierna y el torso y el brazo, que termina en el plato. Cada punto a lo largo de la curva se traza una curva en(3), definiendo así un homotopy. Después de haber completado el truco y terminó de nuevo en la posición original, ahora tiene un homotopy de la doble rotación del plato con una curva constante en la identidad de SO(3). No se puede detener en el punto medio, bloquear el plato y la mano en su lugar, ahora en la posición original, y desenrollar el brazo: Esto refleja el hecho de que el bucle único en SO(3) es no nulo homotópica.

Answer 2

Ver p. 164-167 de Bredon de la Topología y la Geometría. Página 166 (no visibles en línea) es una secuencia de nueve cuadros que demuestran que el camarero del truco.

Answer 3

(Este es un poco largo para un comentario, pero no es una respuesta.)

He roto los cristales en el pasado, lo que demuestra que este truco así que yo recomiendo hacerlo con vacíos de plástico tazas hasta que lo sepas al dedillo. Para aquellos que no pueden trabajar, aquí es una manera más sencilla de hacerlo: toma una banda elástica y dos varillas que han distinguible "arriba" y "abajo". Bucle de la banda alrededor de las dos barras y mantenerlo bastante tensa (sólo para que no se caigan). Ascii imagen:

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El turno ahora de uno de los barras de boca abajo. Moviendo la varilla a través del espacio, pero sin girar (o el sistema se cae a pedazos), intentar desenredar la banda elástica.

No puede hacerlo? Bueno. Se puede? ¡Vaya! Ya sea que hayas hecho algo mal o hizo Whitehead.

Empezar de nuevo desde el principio. Ahora el turno de una de las barras a través de un giro completo (por lo que es del lado derecho arriba de nuevo). Ahora intentar desenredar la banda elástica como antes.

No puede hacerlo? Vuelve a intentarlo! Es posible.

Así, en términos matemáticos, lo que se busca es la posición de la segunda varilla, además de que es "arriba-abajo"ness. En cuanto el camarero del brazo, desea que la posición de la mano y la expresión de agonía en su rostro: si su rostro está en agonía, su brazo torcido; si su rostro está en calma, su brazo no está torcido.

Mnemónico: torcer el brazo a alguien dos veces consigue en ninguna parte.