resultado relativa a la normal operadores

Question

Deje $E$ ser un infinito-dimensional espacio de Hilbert complejo.

Busco una escuela primaria prueba del siguiente resultado:

Si $A,B \in\mathcal{L}(E)$ dos normales operadores que $AB=BA$. Por qué $$A^*B=BA^*\;\;\text{and}\;\; AB^*=B^*A\;?$$

El resultado se sigue de Fuglede del teorema, pero tal vez existe otra idea desde $A$ $B$ son normales.

Answer 1

Podemos aplicar aplicar el siguiente teorema:

Fuglede del teorema: Vamos a $T,S\in \mathcal{L}(E)$. Si $T$ es normal y $TS=ST$,$TS^*=S^*T$.

Pero desde $A$ $B$ son dos desplazamientos normales operadores de manera tal vez podemos aplicar el teorema espectral o idea a otro.

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Me parece la siguiente prueba:

Lema: Vamos A $S,T \in \mathcal{L}(E)$. A continuación, $ST=TS$ si y sólo si $e^{zS}T=Te^{zS}$ todos los $z \in \mathbb{C}$.

Fuglede del Teorema: Vamos a $S,T \in \mathcal{L}(E)$ $S$ normal. Si $ST=TS$,$S^*T=TS^*$.

Prueba: Tenemos que mostrarle $e^{zS^*}Te^{-zS^*}=T$ todos los $z \in \mathbb{C}$. Tenemos $$F(z):=e^{zS^*}Te^{-zS^*} = e^{zS^*} e^{-\bar{z} S} T e^{\bar{z} S} e^{-zS^*}=e^{zS^*-\bar{z}S} T e^{-zS^* + \bar{z}S}.$$ Tenga en cuenta que $e^{zS^*-\bar{z}S}$ (y su inversa) es unitaria (desde $zS^*-\bar{z}S$ es anti-uno mismo-adjoint), por lo $\|F(z)\|\leq \|T\|$. Por otra parte, $F$ es holomorphic así que por el teorema de Liouville $F$ es constante. Por lo tanto $F(z)=T$.