Ceros de una integral no elemental

Question

¿Cómo se encontrarían los ceros en tales casos? Intenté algunas aproximaciones geométricas usando el gráfico sin éxito.

$$\int_{0}^{2\pi} \ln \left(x + \sin t \right)dt$$

Cualquier ayuda o perspectiva sería apreciada.

Answer 1

Considera la integral como una función de $x$ y luego deriva con respecto a $x. Esto da $$f'(x)=\int_0^{2\pi} \frac{1}{x+\sin t}\,dt$$ lo que se puede resolver fácilmente mediante una sustitución de ángulo medio tangente para obtener $$f'(x)=\frac{2\pi}{\sqrt{x^2-1}}.$$ Integrando con respecto a $x$ obtenemos $f(x)=2\pi\cosh^{-1}(x)+C.$

Para resolver para $C,$ considera $f(1).$ La integral es $$\int_0^{2\pi}\ln (1+\sin x)\,dx=\int_0^{2\pi}\ln (1+\cos x)\,dx=2\pi\ln(2)+\int_0^{2\pi}\ln (\cos^2 (x/2))\,dx\\=2\pi\ln(2)+\int_0^{2\pi}\ln (\sin^2 (x/2))\,dx=2\pi\ln(2)+4\int_0^{\pi}\ln (\sin (x))\,dx,$$ que al combinarse con el famoso resultado $\int_0^{\pi}\ln(\sin(x))=-\pi\ln(2),$ y $f(1)=C,$ da como resultado $C=-2\pi\ln2$. ¡Y he aquí, $\ln 2= \cosh^{-1}(5/4)!!$ Esto inmediatamente da $x=\frac54.$

Answer 2

Para $1 < x < 2$, la integral parece ser $$ -\pi\, \left( 2\,\ln \left( 2 \right) -3\,\ln \left( x+\sqrt {{x}^{2 }-1} \right) -\ln \left( x-\sqrt {{x}^{2}-1} \right) \right) $$ y esto es $0$ en $x = 5/4$.