¿Es cierto que $76^n=76\pmod{100}$ para todos $n>0$ ?

Question

Nota

$76^2=5776,$

$76^3=438976,$

$76^4=33362176,$

$76^5=2535525376,$

$$\cdots$$

Por lo tanto, supongo que

$$76^n = 76 \pmod{100} $$ para cualquier número natural $n$ .

¿Es correcto?

¿Y hay otros números que tengan esta propiedad?

Answer 1

Esto es cierto porque $76^{2}\equiv 76 \left(\mathrm{mod}\,100\right)$ . Para otros ejemplos, hay que buscar $1\leq a\leq 99$ con $a^{2}\equiv a\left(\mathrm{mod}\,100\right)$ es decir $a(a-1)$ es múltiplo de 4 y 25. Esto es cierto cuando $$ \begin{cases} a\equiv 0, 1 \,(\mathrm{mod}4) \\ a\equiv 0, 1\,(\mathrm{mod}25) \end{cases} $$ desde $a$ et $a-1$ es coprimo. Por lo tanto tenemos 4 casos $$a\equiv 0, 1, 25, 76.$$

Answer 2

No hace mucho me dieron un rapapolvo por tratar este tema de forma insatisfactoria, pero volveré a intentarlo:

En $10$ - los números radicales, $\Bbb Z_{10}$ tienen una descomposición natural, $$ \Bbb Z_{10}\>\cong\>\Bbb Z_2\oplus\Bbb Z_5\,, $$ esos son los $2$ -y los números $5$ - los números radicales. Cuando reconozcas que $\Bbb Z_{10}=\projlim_n(\Bbb Z/10^n\Bbb Z)$ al igual que $\Bbb Z_2=\projlim_n(\Bbb Z/2^n\Bbb Z)$ et $\Bbb Z_5=\projlim_n(\Bbb Z/5^n\Bbb Z)$ así como la importancia del Teorema Chino del Resto, que dice que $\Bbb Z/10^n\Bbb Z\cong(\Bbb Z/2^n\Bbb Z)\oplus(\Bbb Z/5^n\Bbb Z)$ todo se cae.

Sáltese lo abstracto: hay $10$ - los números radicales, $$ E_2=\dots8212890625;\quad\text{and}\quad E_5=\dots1787109376;\,, $$ que corresponden a las cantidades $1\oplus0$ et $0\oplus1$ respectivamente, en $\Bbb Z_2\oplus\Bbb Z_5$ . Naturalmente $E_2^2=E_2$ et $E_5^2=E_5$ : sólo intenta $90625^2$ et $9376^2$ para ver que los resultados tienen los últimos cinco dígitos $90625$ et $09376$ respectivamente.

Obsérvese que las dos últimas cifras de $E_2$ son $\equiv1\pmod{2^2}$ pero $\equiv0\pmod{5^2}$ . Lo mismo para los seis últimos dígitos de $E_2$ congruente con $1$ modulo $2^6$ pero divisible por $5^6$ . Los hechos correspondientes son válidos para $E_5$ así como para cualquier número de dígitos.

Por último, observe que a medida que $10$ - los números radicales, $E_2E_5=0$ mientras que $E_2+E_5=1$ como es necesario si realmente son los idempotentes ortogonales en una suma directa de dos anillos.

Answer 3

Se deduce por inducción:

Si $a^2 \equiv a \mod n$ entonces $a^k \equiv a \mod n$ para todos los números naturales $k$ .

Pf: Caso base: $a^1 \equiv a \mod n$ .

Paso inductivo: Si $a^n \equiv a \mod n$ entonces $a^{n+1} =a^n*a\equiv a*a=a^2 \equiv a \mod n$ .

Aunque $a^2 \not \equiv a \mod n$ pero si en su lugar tiene $a^{m+1}\equiv a \mod n$ entonces $a^{km +1}\equiv a \mod n$ para todos $k$ .

ejemplo $51^2=2601 \equiv 1 \mod 100$ et $51^3 =132651\equiv 51 \mod 100$ así que $51^{1 + 2k} \equiv 51 \mod 100$ .

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Para saber si hay otros necesitamos $(10a + b)^2 = 100a + 20ab + b^2$ para terminar con $10a + b$ .

Sólo $0, 1, 5,6$ al cuadrado terminará en sí mismo.

$(10a + 0)^2 = 100a^2$ terminará con $00$ así que $0$ es uno de esos números.

$(10a + 1)^2 = 100a^2 + 20a + 1$ por lo que necesitamos $20a$ para terminar con $a$ así que $a = 0$ et $1$ es otro de esos números.

$(10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25$ por lo que necesitamos $a=2$ y así $25$ es otro de esos números.

Por último $(10a + 6)^2 = 100a^2 + 120a + 36$ por lo que necesitamos $2a + 3$ para terminar con $a$ .

Si $a = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ entonces $2a + 3 = 3,5,7,9,11,13,15,17,19,21$ . Sólo $2*7 + 3 = 17$ terminará con $a$ . Así que $76$ es el último de estos números.

$0,1,25$ et $76$ son los únicos números de este tipo.

Answer 4

Tenga en cuenta que: $$100n+m\equiv m\ (\mathrm{mod}100)$$ Ya sabes: $$76*76=76^2=5776\equiv76(\mathrm{mod}100)$$ Así, para cualquier número entero $n$ tenemos: $$(100n+76)*76\equiv76(\mathrm{mod}100)$$ Entonces llega la respuesta.

Answer 5

Tenga en cuenta que para todos los $a$ , $a \equiv a^2 \equiv \cdots (\mod 1000)$ si $a^2 \equiv a(\mod 1000)$ . Desde $1000 | 76^2-76$ la conculsión sigue.