¿Cómo ganar en este juego

Question

Selecciona 10 números del conjunto $\{2,3,\dots,12\}$. Entonces continuamente rollo 2 de la feria de dados y la suma de ellos, hasta que su selección de los 10 números sube.

Por ejemplo, si su selección fue 7,7,7,7,8,8,8,6,6,6 (4 7, 3 8 3 6), y se tiran los dados continuamente y obtener 7,7,6,5,8,7,7,9,8,3,5,10,12,6,6,3,2,5,7,9,8, usted puede parar ahora porque 4 7 han llegado, 3 8 3 6.

¿Cuál es la mejor opción de 10 números, de manera que se reduzca al mínimo el número de rollos ?

Answer 1

Mediante un ataque de fuerza bruta búsqueda exhaustiva, y una recursividad para cada caso, obtengo la siguiente respuesta:

Hay dos equivalentes de las mejores estrategias, a saber: $$4,5,6,6,7,7,7,8,8,9$$ $$5,6,6,7,7,7,8,8,9,10$$ rendimiento, para el número esperado de rondas, $$ e=\frac{a}{b} \approx 28.26676327 $$ donde $$ \begin{align*} a&=71526610479792733682076713232552201067\\[4pt] b&=2530413892848114144358747803518976000\\[4pt] \end{align*} $$ Observaciones:

Intuitivamente, las multiplicidades de los números seleccionados deben ser proporcionales a la probabilidad de que ocurra en una sola ronda.

Así, por ejemplo, por el simple juego donde usted tira un dado, y llegar a adivinar $6$ números, la selección óptima es $1,2,3,4,5,6$.

Si en cada ronda de rodar dos dados, y llegar a adivinar $36$ números, sospecho que la selección óptima es $$2, 3,3, 4,4,4, 5,5,5,5, 6,6,6,6,6, 7,7,7,7,7,7, 8,8,8,8,8, 9,9,9,9, 10,10,10, 11,11, 12 $$ Para el juego en cuestión, donde en cada ronda de rodar dos dados, y llegar a adivinar $10$ números, entonces, desde las multiplicidades de los valores seleccionados deben ser números enteros no negativos, no es posible que las multiplicidades para estar en proporción a los asociados probabilidades. Sin embargo, es intuitiva que deben ser aproximadamente en esas proporciones.

Answer 2

(demasiado largo para un comentario, pero no una respuesta completa). Voy a trabajar para $n=2$, $n$ siendo el número de valores que usted seleccione.

Deje $E[a,b]$ ser el número esperado de la lanza tomar suponiendo que usted eligió $a,b$. Igualmente, os $E[a]$ ser el número esperado de lanzamientos se tarda sólo para ver $a$. De curso $E[a]=\frac 1{P(a)}$.

Para $a=b$ claramente la elección de $7$ es mejor. En caso de que uno ve a la vez que $$\boxed{E[7,7]=\frac 2{P(7)}=12}$$

Supongamos ahora que $a\neq b$.

Teniendo en cuenta los posibles resultados del primer sorteo (es decir,"$a$", "$b$", o ninguno) es fácil ver que $$E[a,b]=P(a)\times \left(E[b]+1\right)+P(b)\times \left(E[a]+1\right)+(1-P(a)-P(b))\times \left(E[a,b]+1\right)$$

Esto implica que $$\boxed {E[a,b]=\frac {P(a)P(b)+P(a)+P(b)}{P(a)P(b)(P(a)+P(b))}}$$

Es fácil calcular que $$E[7,8]=E[7,6]=9.92727\cdots<12$$ and that $$E[6,8]=10.8$$ so as the OP expected, choosing $\{7,6\}$ or $\{7,8\}$ es óptimo. (comentario: no es difícil descartar las otras posibilidades, por cálculo directo si nada.)

Nota I: este método se generaliza a más opciones, pero los casos comienzan a multiplicarse mal. Mi conjetura para$n=3$$\{6,7,8\}$, pero no he comprobado esto y que fácilmente podría ser incorrecta.

Nota II: este método sin duda se presta a la automatización. Si se han calculado todas las expectativas para $n$ opciones, a continuación, usted puede conseguir para $n+1$ por una recursividad como se hizo anteriormente. Este es apenas un lápiz y papel método, sin embargo. hay $\binom {19}9=92378$ posibles selecciones al $n=9$ $\binom {20}{10}=184756$ al $n=10$.

Answer 3

Es más probable que un niño de dos dados papel sería un $7$, por lo que escoger sólo sevens parece la mejor opción.