Deje $H$ ser el grupo de Heisenberg. Determinar el centro de $Z(H)$$H$. Demostrar que el cociente grupo $H/Z(H)$ es abelian.

Question

Deje $H$ ser el grupo de Heisenberg. Determinar el centro de $Z(H)$$H$. Mostrar que el cociente grupo $H/Z(H)$ es abelian.

Aquí

Demostrar que el cociente entre el Grupo de Heisenberg con su centro es abelian.

también se da como un ejercicio.

Soy nuevo en esto de álgebra de matrices campo. Yo estaba tratando de probar la primera parte el uso de primaria de la matriz pero no funciona. Puede ser, que me he equivocado en algún punto de cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Vamos$$\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}\in Z(H).\tag1$$Then, if $x,y,z\in\mathbb{R}$, then$$\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}.$$But$$\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&x&ay-bx+z\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}.$$Therefore, $a=b=0$ if and only if $(1)$ holds. So, now you know $Z(H)$. Se puede tomar desde aquí?