Factoring racional de los números primos más de los enteros de Eisenstein - cuando puede un primer ser escrito como $j^2+3k^2$?

Question

He estado jugando con enteros de Eisenstein, y la comparación de ellos con los enteros de Gauss. Muchas cosas están claras, pero estoy luchando con los detalles subyacentes que racional de los números primos de división, y que son inertes. Sé que el inerte de los números primos son, precisamente, los congruente a $2$, modulo $3$, y la división de los números primos son congruentes a $1$. (El primer $3$ es el único ramificado que prime en este anillo.)

Ahora, el correspondiente hecho Gaussiana de los números primos es que $2$ es ramificado, y todas las impares primos dividir o son inertes, de acuerdo a si son congruentes a $1$ o $3$, respectivamente, modulo $4$. Esto es algo que se puede probar, y la parte interesante de la prueba es demostrar que, si $p=4m+1$, $p$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados.

Pensé inicialmente que el correspondiente hecho de establecer para Eisenstein enteros sería:

1) Si un racional prime $p$ puede ser escrito como $p=3m+1$, entonces podemos expresar en la forma $p=j^2+3k^2$. (Aquí se $j$ $k$ son racionales enteros.)

Entonces, me di cuenta de que las normas no funcionan de esa manera en Eisenstein, y el hecho de que realmente necesito es:

2) Si un racional prime $p$ puede ser escrito como $p=3m+1$, entonces podemos expresar en la forma $p=j^2+jk+k^2$. (con $j$$k$$\Bbb Z$, como en el anterior.)

Estoy leyendo que dicen (2) "puede ser demostrado", pero no sé cómo demostrarlo. He tratado de imitar la correspondiente prueba de la Gaussiana de los números primos, pero hay un paso intermedio, donde $p=4m+1$ divide un factoriales al cuadrado, más $1$. Si yo pudiera demostrar que $p=3m+1$ divide algunos plaza, además de a $3$, entonces yo podría demostrar la afirmación (1), creo. La reclamación (2), no estoy seguro de cómo proceder.

Mis preguntas: Cómo probar la afirmación (2)? Es la afirmación (1) también verdad? Si no ¿qué es un contraejemplo?

Answer 1

Hay un demonio en el cargo de ofuscación de la enseñanza de las matemáticas de los seres humanos, a veces llamado Apasmara o Maluyakan, y Betsy DeVos es su profeta.

Cuando los matemáticos comenzaron a descubrir hechos sobre cuadrática anillos de un par de siglos atrás, mi colega demonio tomó una decisión que cuando los $d \equiv 1 \pmod 4$, los seres humanos deben ser guiados siempre figura en un número $$\theta = \frac{1 + \sqrt d}{2}$$ and use that number for all calculations in $\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}$ si tiene sentido hacerlo o no. Especialmente cuando éste es el caso. Deliciosamente diabólica!

A menudo, esto impide que un humano estudiante de matemáticas de darse cuenta de que para el factor de $p$, podría ser más fácil para encontrar $4p = a^2 - db^2$. En el caso de $d = -3$ $\mathbb Z[\omega]$ (donde utilizamos $\omega$ en lugar de $\theta$ sólo para ser arbitrario), a veces, esto significa averiguar si $a^2 + 3b^2 = 4p$. Si $p \equiv 2 \pmod 3$,$4p \equiv 2 \pmod 3$, pero $a^2$ nunca $2 \pmod 3$ $3b^2 \equiv 0 \pmod 3$ siempre. Pero si $p \equiv 1 \pmod 3$, entonces... yo mejor dejarlo así, no quiero cruz Mulayakan.

Así, por ejemplo, $(5 - \sqrt{-3})(5 + \sqrt{-3}) = 28$ $$\left(\frac{5 - \sqrt{-3}}{2}\right) \left(\frac{5 + \sqrt{-3}}{2}\right) = 7.$$

Answer 2

No sé lo que prueba que usted se refiere para el caso de los enteros de Gauss, pero en caso de que la prueba de recuerdo utiliza el Galois norma mapa de$\mathbb Z[i]$$\mathbb Z$,$N:a+bi\to a^2+b^2$. La idea es que si $p$ es no siendo un prime en los enteros de Gauss, entonces los factores (debido a $\mathbb Z[i]$ es la Euclídea) $p=\alpha\cdot \beta$ ni $\alpha$ ni $\beta$ de una prima. Tomando normas, $p^2=Np=N\alpha\cdot N\beta$. Ni $N\alpha$ ni $N\beta$$\pm 1$, y de hecho no puede ser negativo en cualquier caso, por lo tanto debe ser $p$. Es decir, con $\alpha=a+bi$, $a^2+b^2=1$, como se desee. EDIT: se olvidó de agregar: para $p$ siendo el primer en $\mathbb Z[i]$, es necesario y suficiente que $\mathbb Z[i]/p$ es un campo. Bien, $\mathbb Z[i]/p\cong \mathbb Z/p[i]\cong \mathbb F_p[x]/\langle x^2+1\rangle$. Para $p=1\mod 4$, el polinomio $x^2+1$ factores $\mathbb F_p$, por lo que este no es un campo... y $p$ es una suma de dos cuadrados.

$N(a+b\omega)=a^2+ab+b^2$ , $\omega$ una raíz cúbica de la unidad, funciona exactamente de forma análoga, debido a $\mathbb Z[\omega]$ es la Euclídea. EDIT: un primer $p$ sigue siendo el primer en $\mathbb Z[\omega]$ si y sólo si $\mathbb Z[\omega]/p$ es un campo. Desde $\mathbb F_p$ contiene una raíz cúbica de la unidad si y sólo si $p=1\mod 3$, obtenemos el resultado análogo.

La pregunta general acerca de $a^2+b^2N=p$ es de una naturaleza diferente. David R. Cox escribió todo un libro sobre esto: "los números Primos de la forma $a^2+b^2n$".

Answer 3

Sólo quiero rellenar un par de detalles glosado en las respuestas anteriores. Estos detalles pueden ser muy obvio para algunos, pero no en todos los obvios para los demás.

En primer lugar, la simetría de los enteros de Gauss es cuadrado, mientras que la simetría de los enteros de Eisenstein es hexagonal.

Por ejemplo, en el caso de los números con la norma 13, vemos que $(2 + 3i)i = -3 + 2i$, $(-3 + 2i)i = -2 - 3i$, $(-2 - 3i)i = 3 - 2i$ y uno más de la multiplicación por $i$ nos trae de vuelta a donde empezamos. Si prefiere ir en sentido de las agujas en su lugar, utilice $-i$ en lugar de $i$.

Un ejemplo es mucho más fácil de 7, con la norma 49. Vemos que $7 \times i = 7i$, $(7i)i = -7$, $-7 \times i = -7i$ y uno más de la multiplicación por $i$ nos trae de vuelta a donde empezamos.

El movimiento hacia la Eisenstein enteros, nuestro "principal" de la unidad sería $$\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2},$$ which has the property that $\omega^3 = 1$.

Si un racional prime $p$ puede ser escrito como $p = 3m + 1$, entonces podemos expresar en la forma $p = j^2 + 3k^2$. (Aquí se $j$ $k$ son racionales enteros.) Entonces, me di cuenta de que las normas no funcionan de esa manera en Eisenstein ...

Ciertamente el trabajo de esa manera, pero tenemos que tener en mente la distinción entre números algebraicos que son también algebraica de los números enteros y los que no lo son. Para utilizar el ejemplo de 7, vemos que $7 = 2^2 + 3 \times 1^2$ y, de hecho,$N(2 + \sqrt{-3}) = 7$. Fácilmente podemos localizar $2 + \sqrt{-3}$ sobre el plano complejo.

Pero cuando tratamos de $(2 + \sqrt{-3}) \omega$, las cosas se ponen muy interesantes: $$(2 + \sqrt{-3}) \omega = (2 + \sqrt{-3})\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}\right) = -\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}.$$

Y, a continuación, $$\left(-\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}\right) \omega = \frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{-3}}{2}.$$

Y, a continuación, $$\left(\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{-3}}{2}\right) \omega = 2 + \sqrt{-3}.$ $ Uy, pensé que me iba a tomar todo el hexágono. Pero después de todo, ¿qué es un hexágono, pero dos triángulos poner juntos?

Por norma 13 en el diagrama, voy a empezar a $-1 + 2 \sqrt{-3}$ en lugar de $1 + 2 \sqrt{-3}$. Luego tenemos a $$(-1 + 2 \sqrt{-3}) \omega = -\frac{5}{2} - \frac{3 \sqrt{-3}}{2}.$$

Bueno, tal vez la norma 13 no era la mejor opción para el exterior de ejemplo en este diagrama. Además debería haber empezado con un mayor diagrama antes de poner los puntos y flechas.

Sin embargo, esto muestra que, si bien $j + k \sqrt{-3}$ es la mejor manera de localizar Eisenstein enteros en el plano complejo, es un poco incómodo para los cálculos. Tal vez hay una manera de obtener lo mejor de ambas notaciones?

Pero antes de hacer eso, no estoy del todo a gusto de el uso de $j$$k$, en parte debido a que los ingenieros como el uso de $j = \sqrt{-1}$. A pesar de que el uso de los ingenieros $\omega$ algo más, no me molesta para uso aquí el significado de un complejo de raíz cúbica de 1.

De acuerdo, entonces, con $a$$b \in \Bbb Z$, $N(a + b \sqrt{-3}) = a^2 + 3b^2$ y $$N\left(\frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{-3}}{2}\right) = \frac{a^2}{4} + \frac{3b^2}{4}$$ (however, if $un$ and $b$ no tienen la misma paridad, la norma será racional, pero no es un entero, lo que significa que el número es un número algebraico, pero no es un entero algebraico).

Y luego, con la salvedad de que $\alpha$$\beta \in \Bbb Z$,$N(\alpha + \beta \omega) = \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2$. Además, para $a + b \sqrt{-3} = \alpha + \beta \omega$, $\alpha = a + b$, $\beta = 2b$, y para $$\frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{-3}}{2} = \alpha + \beta \omega,$$ $$\alpha = \frac{a + b}{2},$$ $\beta = b$.

Para revertir la conversión, $$\alpha + \beta \omega = \frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{-3}}{2},$$ $a = 2 \alpha \beta$, $b = \beta$; simplificar fracciones según sea necesario.

Por ejemplo, $$\frac{-5}{2} + \frac{1 \sqrt{-3}}{2} = -2 + \omega,$$ both of which should give 7 when taken through the relevant norm calculations. Then $(-2 + \omega) \omega = -2 \omega + \omega^2$. Keep in mind that $\omega^2 = -1 - \omega$. This means that $-2 \omega + \omega^2 = -2 \omega + (-1 - \omega) = -1 - 3 \omega$.

Tenga en cuenta que $(-1)^2 - (-1 \times -3) + (-3)^2 = 1 - 3 + 9 = -2 + 9 = 7$. Desde que estoy teniendo un momento muy difícil localizar $-1 - 3 \omega$ en el plano complejo, puedo realizar la conversión de $$-1 - 3 \omega = \frac{-2 - (-3)}{2} + \frac{-3 \sqrt{-3}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{-3}}{2}.$$

Siguiente, $(-1 - 3 \omega) \omega = -\omega - 3 \omega^2 = -\omega - 3(-1 - \omega) = 3 + 2 \omega$. Comprobamos que $3^2 - 3 \times 2 + 2^2 = 9 - 6 + 4 = 3 + 4 = 7$. Y, por último, comprobamos que $$3 + 2 \omega = \frac{4}{2} + \frac{2 \sqrt{-3}}{2} = 2 + \sqrt{-3}$$ and $N(2 + \sqrt{-3}) = 7$.

Si un racional prime $p$ puede ser escrito como $p = 3m + 1$, entonces podemos expresar en la forma $p = j^2 + jk + k^2$ ( $j$ $k$ $\Bbb Z$ , como en el anterior).

Hmm, parece que tienes un plus en el que debe tener un signo menos. Este detalle, probablemente a causa de la mitad de su confusión. Aunque probablemente yo también cometió un error similar en algún lugar en los párrafos anteriores.