Demostrar que $T=T_xR$ $x\in \Bbb R^n$ $R\in O(n)$

Question

Yo estaba estudiando el libro de la Mentira de los grupos, por Brian C. Hall, en la página 9, se ha definido la distancia euclídea grupo $E(n)$ por el grupo de todos los uno-a-uno, en, la distancia, la preservación de los mapas de $\Bbb R^n \to \Bbb R^n$ s.t $d(x,y)=|x-y|$. Nota aquí $f\in E(n)$ no es en particular lineal. Definir la traducción de $T_x:\Bbb R^n \to \Bbb R^n$ s.t $T_x(y)=x+y$, el conjunto de la traducción también es un subgrupo de $E(n)$ $O(n)$ es también un subgrupo de $E(n)$.

Ahora hay una proposición que soy incapaz de demostrar que

Cada elemento de a $T$ $E(n)$ puede escribirse de forma única como una transformación lineal ortogonal seguido por una traducción, yo.e, en la forma $T=T_xR$ $x\in \Bbb R^n$ $R\in O(n)$

Ahora creo que hay dos pasos que no soy capaz de demostrar aquí

1. Cada $T \in E(n)$ no se fija un punto, entonces, sería de la forma $T_x$.
2. Cada $1-1$, en, la distancia, la preservación de mapa de $\Bbb R^n$ a sí mismo, que fija el origen debe ser lineal.

Si pudiéramos probar esto, a continuación, $T_x^{-1}T \in O(n)$ y hemos terminado. Por favor, ayudar en la comprobación de estas dos partes.

Answer 1

Supongamos primero que $T(0) = 0$. Entonces $$| T(x) | = | T(x) - T(0) | = | x - 0 | = | x |$$ para cada $x \in \mathbb{R}^n$, lo que muestra que $T$ se conserva la norma $|\cdot|$. Para todos los $x, y \in \mathbb{R}^n$ se sigue que $$\begin{align*} &\, |x|^2 - 2\langle x,y \rangle + |y|^2 \\ =&\, |x - y|^2 = |T(x) - T(y)|^2 \\ =&\, |T(x)|^2 - 2\langle T(x), T(y) \rangle + |T(y)|^2 \\ =&\, |x|^2 - 2\langle T(x), T(y) \rangle + |y|^2 \,, \end{align*}$$ así que $$\langle T(x), T(y) \rangle = \langle x,y \rangle \,.$$ De ello se sigue que $$\begin{align*} &\, |T(x+y) - T(x) - T(y)|^2 \\ =&\, |T(x+y)|^2 + |T(x)|^2 + |T(y)|^2 \\ &\, - 2\langle T(x+y), T(x) \rangle - 2\langle T(x+y), T(y) \rangle + 2\langle T(x), T(y) \rangle \\ =&\, |x+y|^2 + |x|^2 + |y|^2 - 2\langle x+y, x \rangle - 2\langle x+y, y \rangle + 2\langle x,y \rangle \\ =&\, |(x+y) - x - y|^2 = 0 \end{align*}$$ para todos los $x, y \in \mathbb{R}^n$, y, por tanto, que el $T(x + y) = T(x) + T(y)$. Esto demuestra que $T$ es aditivo. Para todos los $x \in \mathbb{R}^n$ $\lambda \in \mathbb{R}$ tenemos que $$\begin{align*} &\, |T(\lambda x) - \lambda T(x)|^2 = |T(\lambda x)|^2 - 2 \langle T(\lambda x), \lambda T(x) \rangle + |\lambda T(x)|^2 \\ =& |T(\lambda x)|^2 - 2 \lambda \langle T(\lambda x), T(x) \rangle + \lambda^2 |T(x)|^2 = |\lambda x|^2 - 2 \lambda \langle \lambda x, x \rangle + \lambda^2 |x|^2 \\ =& \lambda^2 |x|^2 - 2 \lambda^2 |x|^2 + \lambda^2 |x|^2 = 0 \end{align*}$$ y, por tanto, que el $T(\lambda x) = \lambda T(x)$. Esto demuestra que $T$ es homogénea. En resumen esto muestra que $T$ es lineal, y por lo tanto ortogonal (aquí usamos ese $\mathbb{R}^n$ es finito-dimensional).

Para cada $T \in E(n)$ tenemos para $x = T(0)$ que $(T_x^{-1} T)(0) = 0$. A continuación, $R := T_x^{-1} T$ es ortogonal por el prevous discusión, y $T = T_x R$ es el deseado de descomposición.

Por la singularidad de la nota se desprende $T = T_x R$ que $T(0) = T_x(R(0)) = T_x(0) = x$, lo que muestra la singularidad de $x$. La singularidad de $R$ a continuación se de $R = T_x^{-1} T$.