$\sigma(n) \equiv 1 \space \pmod{n}$ si y sólo si $n$ es el prime

Question

Para $n>1$, vamos a $\sigma(n)$ denotar la suma de todos los enteros positivos que dividen equitativamente $n$. A continuación, $\sigma(n) ≡ 1 \space(mod\space n)$ si y sólo si $n$ es primo.

He estado tratando de probar esto por un largo tiempo, pero no puedo averiguar.

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He encontrado un teorema que podrían ser de ayuda:

$\sigma(n) = n + k$ tiene un número finito de soluciones para $k > 1$ (más específicamente, esta ecuación no tiene soluciones para $n≥k^2$).

prueba:

deje $n≥k^2>1,\space \sigma(n) = n + k$. Tenga en cuenta que $n$ debe ser un número compuesto (de lo contrario $k=1$). Por lo tanto, $n$ tiene un divisor $d≥\sqrt n$. De $\sigma(n)$'s definición:

$\sigma(n) ≥ n+d+1≥n+\sqrt n + 1 ≥ n + k + 1 > n + k$

Si alguien puede generalizar esto a $\sigma(n)=qn+k$, o algo así, podría ser de ayuda.

Answer 1

Este es un problema difícil.

Si usted puede probar su conjetura, entonces se implica de inmediato que no hay cuasi-perfecto números. La existencia de cuasi-perfecto números es un problema abierto.

Answer 2

Si $p$ es primo, entonces el único número que divida $p$$1$$p$$\sigma (p) = 1 + p \equiv 1 \mod p$.

Así que esa es una dirección.

Deje $\sigma(n)=1$ .

Si $\sigma(n) \equiv 1 \mod n$ e si $k|n$ $\sigma (n) \equiv 1 \mod \frac nk$ (porque si $n|\sigma(n) -1$$\frac nk|n$$\frac nk|\sigma(n) -1$.)

Ahora $\sigma(n) = $ suma de todos los factores que son múltiplos de $\frac nk$, además de todos los múltiplos que no son múltiplos de $\frac nk $.

Todos los múltiplos de que no son múltiplos de $\frac nk =\sigma(\frac nk)$.

Por lo $\sigma(n) \equiv \sigma(\frac nk) \mod \frac nk$.

Por lo $\sigma(\frac nk)\equiv 1 \mod \frac nk$.

Así que por inducción.

$\sigma(pq) \equiv 1 \mod pq$ donde $p\ne q$ pero $pq|n$ $\sigma(p^2) \equiv 1 \mod p^2$ donde $p^2|n$.

Podemos mostrar estos son imposibles. $\sigma(p^2) = 1 + p + p^2 \equiv 1+p \mod p^2$ y $1 < 1+ p < p^2$ que no es equivalente a $1$.

Si $pq|n$ $p\ne q$ wolog asumen $p\le 2 < q$$\sigma(pq) = 1 + p + q + pq \equiv 1+p + q \mod pq$. Pero $1+p + q \le q + q \le pq$. La igualdad sólo se puede mantener si $p = 2$ $q=3$ y que en caso de $1+ 2 + 3\equiv 0 \mod 6$.

Así que... estas son las contradicciones. No es posible que $n$ tiene dos o más desigual de los factores primos, y no es posible que $n$ tienen ningún factor primo a una potencia mayor que $1$ como un factor.

En otras palabras, $n$ debe ser un primo.