Dar una contables conjunto de periódico puntos de $T$ donde $\Bbb T=[0,1)/\{0=1\}$

Question

Deje $T : \Bbb T → \Bbb T$ ser la duplicación mapa define como $T(x) = 2x (\mod 1)$. Dar una contables conjunto de periódico puntos de $T$ donde $\Bbb T=[0,1)/\{0=1\}$

Yo estaba tratando de usar el cambio de mapa en $Σ^+_2 = \{0, 1\}^{\Bbb N}$, pero realmente no puede conseguir.

Answer 1

Para $n ≥ 2$, vamos a $x_n = w_nw_nw_n · · · ∈ Σ^+_2$ donde $w_n$ es un número finito de palabras con un$1$, seguido por $(n−1) 0$'s. El número en $\Bbb T = [0, 1)$ con el binario de expansión $x_n$ $\sum_{k=0}^∞\frac{1}{2^{kn+1}} =\frac{2^{n−1}}{2^{n} − 1}$ . Tenga en cuenta que el mínimo período de $x_n$$n$.