Problema del cumpleaños - Adán y Eva

Question

Pregunta:

Adán y Eva están en una habitación con $n − 2$ otras personas. Supongamos que usted sabe que al menos dos de las personas en la sala de celebrar su cumpleaños el mismo día. ¿Cuál es la probabilidad de que Adán y Eva celebran su cumpleaños el mismo día? (Suponga que un año tiene 365 días y que la distribución de los nacimientos en un año es uniforme.)

MyApproach:

Creo que es el saber que al menos dos personas tienen el mismo cumpleaños que es confuso para mí. ¿Cambia algo para tener esta información?

Answer 1

Ciertamente cambia las cosas. Decir $n=5$, entonces sabemos que al menos uno de los posibles pares tienen el mismo cumpleaños. Hay $10$ pares, y cada uno es igual de probable que tenga la misma fecha de nacimiento, por lo que la probabilidad de que Adán y Eva que tienen la misma fecha de nacimiento es, al menos,$\frac1{10}$, mucho más que el $\frac1{365}$ sería sin la información adicional.

Para obtener el valor exacto, el uso de $$P(X\mid Y)=\frac{P(X\text{ and }Y)}{P(Y)}.$$ Aquí $X$ es Adán y Eva tener la misma fecha de nacimiento, y $Y$ es algo de que dos personas tengan la misma fecha de nacimiento, por lo $P(X\text{ and }Y)=P(X)=\frac1{365}$.

Ahora usted sólo tiene que encontrar $P(Y)$. Es más fácil calcular la probabilidad de que dos personas no tienen la misma fecha de nacimiento, y restar de $1$. (Sugerencia: ¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros tienen diferentes fechas de cumpleaños? Si lo hacen, ¿cuál es la probabilidad de que la tercera persona tiene un diferente cumpleaños de dos de ellos?)

Answer 2

Sugerencia: Deje $B$ ser el caso de que Adán y Eva tienen el mismo cumpleaños. Deje $S$ ser el caso de que dos personas tengan el mismo cumpleaños. Estás tratando de calcular la probabilidad condicional de la $$P(B|S) = \frac{P(B\cap S)}{P(S)}.$$

Answer 3

Sí, así es. Como se señaló anteriormente, estamos en el cálculo de una probabilidad condicional. Deje $P(A')$ la probabilidad de que no hay dos personas tienen el mismo cumpleaños. Por lo tanto, $$ P(A') = \frac{365}{365} \frac{364}{365} ... \frac{365 - (n-1)}{365} $$

Deje $P(A)$ la probabilidad de que al menos dos personas tienen la misma fecha de nacimiento, que es $P(A) = 1- P(A')$. ($A$ y $A'$ son complementarios de los eventos.)

Deje $P(B)$ la probabilidad de que Adán y Eva comparten el mismo cumpleaños. Es decir, $$ P(B) = \frac{365}{365} \frac{1}{365}$$

Como se señaló anteriormente por las otras respuestas, estamos tratando de encontrar una $$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$$

Por tanto, debemos encontrar $P(B \cap A)$. Supongamos que Adán y Eva tienen el mismo cumpleaños. El evento $B$ está totalmente contenida en $A$, por lo tanto $P(B \cap A) = P(B)$.

Answer 4

El número total de combinaciones de T es

$$T=365^n$$

El número de combinaciones donde ninguna pareja tiene la misma fecha de nacimiento, es decir, combinaciones no válidas I es

$$I=365 \cdot 364 \cdot \ ... \ \cdot (365-(n-1))$$

Por lo que el número de validez (es decir, al menos una pareja, con la misma fecha de nacimiento) combinaciones de V es

$$V=T-I = 365^n - 365 \cdot 364 \cdot \ ... \ \cdot (365-(n-1))$$

El número de combinaciones correctas C donde Adán y Eva tienen el mismo cumpleaños

$$C=365 * 365^{n-2} = 365^{n-1}$$

Así que ahora la probabilidad es:

$$\frac{C}{V} = \frac{C}{T-I}$$

o

$$\frac {365^{n-1}} {365^n - 365 \cdot 364 \cdot \ ... \ \cdot (365-(n-1))}$$

Si lo deseas este puede ser reescrito para

$$\frac { \frac {1}{365}} {1 - \frac {365 \cdot 364 \cdot \ ... \ \cdot (365-(n-1))}{365^n}}$$

$$\frac { \frac {1}{365}} {1 - P(No \ one\ with \ same \ birthday)}$$

$$\frac { \frac {1}{365}} {P(At \ least \ two \ with \ same \ birthday)}$$