¿Puede haber una en homomorphism de un anillo sin la unidad a un anillo con unidad?

Question

Deje $R$ ser un anillo sin una unidad de elemento y $R'$ ser (no trivial) anillo con una unidad de elemento. ¿Puede haber una en homomorphism de$R$$R'$?

Algunas observaciones: no puede haber un isomorfismo, porque entonces el elemento de $R$ que se asigna a $1$ $R'$ debe ser una unidad de elemento en $R$. También, no podemos tener una en homomorphism de un anillo con unidad a un anillo sin la unidad como $f(1)$ va a ser una unidad de elemento.

Edit: yo soy la definición de un anillo homomorphism como una función de $ \phi: R \rightarrow R'$ tal que para todos los $a,b$$R$, $$\phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b) $$ $$\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$$

Answer 1

Me sorprende que nadie sugirió esta obvia de la construcción todavía:

Deje $R_1$ ser un anillo sin identidad, y $R_2$ ser un anillo con identidad. A continuación, $R=R_1\times R_2$ es un anillo sin identidad, y $(r_1,r_2)\mapsto r_2$ es un surjective anillo homomorphism de $R\to R_2$.

Answer 2

Deje $R$ el conjunto de los números enteros. Este es un anillo sin la unidad.

Deje $R'$ ser el anillo de los enteros modulo $3$. Este es un anillo con unidad.

Deje $\phi:R\to R'$ ser la "reducción modulo $3$" del mapa. Este es un surjective homomorphism de los anillos.

Answer 3

Álgebras de funciones son una fuente de ejemplos. Considerar la restricción homomorphism de $C_0(\mathbb R)$ a $C[0,1]$

Comentario Todos los ejemplos dados hasta ahora, tal vez con excepción de la de Jendrik Stelzner, tienen el mismo sentir a mí. E. g., el ejemplo del Señor Tiburón: asociado a un número entero $n$ una "función" de los números primos cuyo valor en$p$$[n]_p$. Señor Tiburón toma la sub-anillo de los enteros cuyo valor en $p = 2$ es cero, y se evalúa en $p = 3$. Es fácil (pero probablemente inútil) para el ajuste rschweib el ejemplo en esta rúbrica. Mi otro ejemplo con representaciones irreducibles de un grupo compacto también se ajusta al patrón: asociado a un elemento $f$ de la convolución de álgebra una "función" $\hat f$ en el conjunto de representaciones irreducibles, definido por $\hat f(\pi) = \pi(f)$. Este es un tipo de transformada de Fourier. El conjunto de funciones que se obtenga va a satisfacer una $c_0$ condición, y, en cualquier caso, no tiene ningún elemento de identidad. Ahora el homomorphism evalúa estas funciones en un punto finito para producir un anillo con identidad.

Answer 4

Otro lugar de origen diferente de los ejemplos en el análisis sería el álgebras de funciones continuas en un (continua) grupo compacto, en virtud de la convolución. Estas álgebras no tienen una identidad (ya que la identidad quiere ser el punto de masa en la identidad del grupo). Pero los grupos, y por lo tanto la convolución álgebras de tener finito dimensionales irreductible representaciones; es decir, hay homomorphisms en total de la matriz de álgebras. (De hecho, todas las representaciones irreducibles son finito dimensionales, ver https://mathoverflow.net/questions/119402/why-all-irreducible-representations-of-compact-groups-are-finite-dimensional.)

Answer 5

Para cada $S \subseteq R$ denotar por $\langle S \rangle$ las dos caras ideal generado por a $S$, es decir, el más pequeño de dos caras ideal que contiene a $S$. A continuación, para cada $x \in R$ se puede considerar el cociente del anillo $$ R'_x = R/\langle rx-r, xr-r \mid r \R \rangle \,, $$ para que $\overline{x} \in R'_x$ es una unidad de elemento.

Tenga en cuenta que cada unital anillo de $R'$ para el cual existe un surjective anillo homomorphism $\phi \colon R \to R'$ es un cociente de un anillo $R'_x$ (por ejemplo, para $x \in R$$\phi(x) = 1_{R'}$). También tenga en cuenta que para $x = 0$ tenemos el ejemplo de $R'_x = 0$, que no ha sido mencionado hasta ahora.