Tenemos el intervalo unitario $[0,1]$ y queremos encontrar la probabilidad de elegir dos números al azar $a,b$ de ese intervalo con $|a-b|>0.5$ .
¿Debo investigar $[0,1]×[0,1]$ ?
No tengo la menor idea de cómo resolver esto. El problema es que $[0,1]$ tiene infinitos números para elegir Entonces, ¿cómo calcular una probabilidad con infinitos elementos en el espacio muestral?
Me alegraría mucho que alguien arrojara luz sobre esto.
Vale la pena señalar que no se afirma que $a,b$ están uniformemente distribuidos, pero mientras sean independientes, su enfoque funcionará con una ligera modificación en la integral.
Entonces, si tengo un problema con 3 variables aleatorias, ¿debo utilizar un cubo tridimensional?
El enfoque geométrico funciona bien aquí. Si se eligen dos puntos uniformemente del intervalo $[0,1]$ es lo mismo que elegir un punto uniformemente del cuadrado con vértices $(0,0), (0,1), (1,0)$ y $(1,1)$ . Ahora, puedes graficar las líneas correspondientes a las condiciones $y=x+\frac12$ y $y=x-\frac12$ . Entre esas líneas hay puntos en los que la diferencia entre $x$ y $y$ es menor que $\frac12$ y fuera de ellos, se encuentran puntos donde la diferencia es mayor. Utiliza la geometría para calcular el área dentro de tu cuadrado de interés, pero no entre esas dos líneas. Esa es tu respuesta, ya que el área total del cuadrado es $1$ .
Me parece que esta respuesta debe ser adherida a la aceptada y ambos deben ser considerados como contestatarios.
Nota: $$|a-b|>0.5 \Rightarrow a>b+0.5 \ \ \ \text{or} \ \ \ a<b-0.5.$$ Considerando $0\le a,b\le 1$ nos encontramos con que: $$\begin{cases} b+0.5<a\le 1 \\ 0\le b<0.5 \end{cases} \ \ \ \text{or} \ \ \ \begin{cases} 0\le a <b-0.5 \\ 0.5<b\le 1\end{cases}.$$ Hacemos integrales dobles: $$P=\int_0^{0.5} \int_{b+0.5}^1 \mathrm{d}a \, \mathrm{d}b\color{red}{+}\int_{0.5}^1 \int_0^{b-0.5} \mathrm{d}a \, \mathrm{d}b=$$ $$\int_0^{0.5} (0.5-b)\, \mathrm{d}b \color{red}{+} \int_{0.5}^1 (b-0.5)\, \mathrm{d}b=$$ $$0.25-0.125 \color{red}{+} 0.5-0.125-0.5+0.25=0.25.$$
Esto se generaliza bien a dimensiones superiores, pero creo que es más sencillo dibujar un diagrama cuando sólo hay $2$ variables, y el diagrama está en 2D.
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Creo que estás usando la palabra "posibilidad" donde quieres usar "probabilidad".
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$a,b$ ¿qué distribución sigue? Se distribuyen uniformemente en $[0,1]$ ?
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$|a-b|>0.5 \implies a > b+0.5$ o $a<b-0.5$ .
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@GTonyJacobs Sí, tienes razón.
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La navaja de Occam no es infalible, pero sugiere que si alguien habla de elegir números "al azar" de un intervalo, sin especificar una distribución, probablemente esté pensando en la distribución uniforme. Antes de conocer las diferentes distribuciones, eso es lo que habría querido decir.
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@KwnstantinosNikoloutsos podría ayudarte a comprobar el "Problema de elección de líneas": Podría estar equivocado pero parece que maneja exactamente ese tipo de problema en cuanto a la probabilidad de la distancia... mathworld.wolfram.com/LineLinePicking.html
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@Parcly: Lo sé, quieres una insignia por una respuesta con 100 votos, y la forma de conseguirla es supuestamente mantener esto en la lista HNQ. Pero tu comportamiento ahora es simplemente molesto.
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@AsafKaragila Enhorabuena por descubrir mis corazonadas. Sin embargo, creo que la pregunta ha seguido su curso. Por lo tanto lo dejaré como lo has hecho tú. (Y tengo otras insignias de oro que perseguir).