Cuando leí Pinter es Un Libro de Álgebra Abstracta, el Ejercicio 7 de la página 25 se pregunta si la operación $$x*y=\frac{xy}{x+y+1}$$ (definido en los números reales positivos) es asociativa. En primer lugar considero que esto es falso, porque la expresión es tan complicado. Pero cuando he trabajado $(x*y)*z$$x*(y*z)$, he encontrado que ambas se $$\frac{xyz}{xy+yz+zx+x+y+z+1}!$$ Conmutatividad es fácil de ver. Pero la asociatividad puede ser tan contra-intuitivo! Se puede ver esta operación es asociativa sin trabajar? Hay trucos para hacer esto?
Respuesta
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Una forma común para construir rara asociativa de operaciones es a partir de un conocido, tales como la multiplicación, por ejemplo en los números reales o algún subconjunto de ellos, y luego transformarla a través de algunos bijection $\alpha$, mediante la definición de $$x\ast y=\alpha^{-1}(\alpha(x)\cdot\alpha(y)).$$ De hecho, esto es equivalente a $\alpha(x\ast y)=\alpha(x)\cdot \alpha(y)$ (de modo que $\alpha$ es en realidad un isomorfismo), y es fácil comprobar la asociatividad al darse cuenta de que \begin{align*}\alpha(x\ast (y\ast z)) & =\alpha(x)\cdot \alpha(y\ast z) = \alpha(x)\cdot(\alpha(y)\cdot \alpha(z))\\ & =(\alpha(x)\cdot \alpha(y))\cdot \alpha(z) = \alpha(x\ast y)\cdot \alpha(z)\\ & =\alpha((x\ast y)\ast z),\end{align*} lo que implica que $x\ast (y\ast z)=(x\ast y)\ast z$ desde $\alpha$ es bijective. Otras propiedades, tales como la conmutatividad o de la existencia de neutro o inversos, se puede hacer de la misma manera, dependiendo de los casos.
En este caso, podemos ver que $$\frac{1}{x\ast y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}$$, de modo que $$1+\frac{1}{x\ast y}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{y}\right),$$ así, si se define $\alpha(x)=1+\frac{1}{x}$, se puede comprobar que se define un bijection $(0,+\infty)\to (1,+\infty)$, e $\ast$ es sólo una transformación de la multiplicación en $(1,+\infty)$, lo que explica por qué es asociativa. De hecho, también se puede ver de inmediato que también debe ser conmutativa, pero que no puede tener un elemento neutro (de lo contrario $(1,+\infty)$ tiene uno).
