Demostrar que $r^3\rho=2R \rho_1\rho_2 \rho_3$

Question

Deje $ABC $ ser un ángulo agudo del triángulo. Vamos $D$, $E$, $F$ estar a los pies de las perpendiculares desde $A $, $B$, $C $ en los lados opuestos $BC $, $CA $, $AB $. Deje $\rho,\rho_1,\rho_2 ,\rho_3$ ser los radios de los círculos inscritos en los triángulos $DEF$, $AEF$, $BFD$, $CDE$.

Demostrar que $r^3\rho=2R \rho_1\rho_2 \rho_3$.

Aquí, $r $ es el radio de la circunferencia inscrita de triángulo $ABC$, e $R$ es el circunradio de $ ABC$.

Answer 1

Recordemos que el $\triangle ABC$ es aguda. Pocos (fácil) observaciones:

1. $H$ es el centro de la circunferencia inscrita de $\triangle DEF$ -- $H,E,B,F$ mentira en un círculo, por lo $\angle HDF=\angle HBF=90^\circ - A$. Del mismo modo, $\angle HDE=\angle HCE=90^\circ-A$.
2. $\triangle BDF$ es similar a la $\triangle BAC$ -- $BD:AB=BF:BC=\cos B : 1$.
3. $BH$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita de $\triangle BDF$ -- $\angle HFB=\angle HDB = 90^\circ$.

Ahora $\rho_2:r = BD:AB$, lo $\rho_2=r\cos B$. Así tenemos $$\rho_1\rho_2\rho_3 = r^3\cos A\cos B\cos C.$$ Así que tenemos que demostrar que $$\rho = 2R\cos A\cos B\cos C.\tag{1}$$ Deje $G $ ser el pie de la perpendicular de$H $$DE $. Desde $$\rho=HG=HD\sin(\angle HDE)=HD\sin(90^\circ-A)=HD\cos A,$$ y $$HD=BH\sin(\angle HBD)=BH\sin(90^\circ -C) = BH\cos C,$$ La igualdad (1) se convierte en $$BH\cos A\cos C=2R\cos A\cos B\cos C$$ que es equivalente a $$BH=2R\cos B.\tag{2}$$ Pero a partir de la Observación 2 y 3 tenemos $$BH:2R = BD:AB =\cos B:1.$$ Por lo tanto la Igualdad (2) se mantiene. QED

Answer 2

Desde el geometical el cálculo es bastante voluminosa, la hoja a continuación se incluye sólo la principal ecuaciones :

Con el fin de ahorrar espacio y el tiempo, las conocidas fórmulas de radios no se repiten aquí. Referencias :

$[1]$ : http://mathworld.wolfram.com/Circumradius.html la Ecuación (1)

$[2]$ : http://mathworld.wolfram.com/Incircle.html la Ecuación (7)

Muchas gracias a han señalado algunos errores tipográficos en la hoja adjunta. Se han corregido.