Deje $f\in L^1(\mathbb{R})$. Encontrar $\lim_{n\rightarrow\infty} \int_\mathbb{R}\vert f(x+n)-f(x)\vert dx$.

Question

Deje $f\in L^1(\mathbb{R})$. Encontrar $\lim_{n\rightarrow\infty} \int_\mathbb{R}\vert f(x+n)-f(x)\vert dx$.

Creo que el límite es de $2\Vert f\Vert_{L^1}$, este resultado se mantiene para las funciones simples. Si hemos de considerar en primer lugar $f$ es una función simple, después de algunos grandes $n$, el apoyo de $f(x+n)$ $f(x)$ va a ser distinto, que va a dar el resultado, supongo.

Pero yo no podía generalizar mi idea por la densidad, debido a que podría conseguir sólo uno de los lados de la desigualdad por la densidad,la

Tal vez mi conjetura es mal, Gracias de antemano por cualquier ayuda/sugerencia sugerencias.

Answer 1

Sugerencia: puede ver cómo hacer esto al $f$ es de forma compacta compatible. Ahora aproximado arbitraria $f$ $f\chi_{[-N,N]}$ donde $N$ es lo suficientemente grande como para hacer la integral de $|f-f\chi_{[-N,N]}|$ menos de $\epsilon$.

Solución: Nota

$$\left| \int |f_N(x+n) -f_N(x)| - \int |f(x+n)-f(x)| \right| \le \int ||f_N(x+n) -f_N(x)| - |f(x+n)-f(x)||.$$

Ahora aplicar la inversa de la desigualdad del triángulo $||a|-|b||<|a-b|$.

$$\le \int |f_N(x+n) -f_N(x) -f(x+n)+f(x)| \le \int |f_N(x+n) - f(x+n)| + \int |f(x)-f_N(x)|.$$

Elegimos $N$, de modo que ambos términos en el lado derecho están a menos de $\epsilon$. Así el problema se reduce a la forma compacta compatible caso, que usted sabe cómo hacerlo.