Encontrar $y$ que satisface: $y'=y^a$, $y(a)=a-2$, para $a \in \mathbb{N}$

Question

Me encantaría su ayuda con la búsqueda de la función $y$ que satisface: $y'=y^a$, $y(a)=a-2$, para $a \in \mathbb{N}$

Esto es lo que hice:

$$\begin{align*} \int \frac{y'}{y^a}dx&=\int 1dx\\ \frac{y^{-a+1}}{-a+1}+c_1&=x+c_2\\ y^{-a+1}&=(x+C)(-a+1), \end{align*}$$ donde $C=c_2-c_1$, y para$a=1$, no hay solución.

Por lo tanto, obtener $$y=\left(\frac{1}{(x+c)(1-a)}\right)^{a-1},$$ búsqueda de $c$ no es agradable.

Supongo que algo está mal, Estoy supongamos que deje $y$ en la forma en que me parece que después de encontrar a $c$?

Muchas gracias!

Answer 1

Supongo que para cada una de las $a$ su necesidad de encontrar una función de $y_a$.

Su trabajo parece esencialmente correcta, pero se puede re-escribir como

$$\frac{1}{(1-a)y^{a-1}} -x = C$$

Conecte los valores necesarios de $x$ $y$ y encontrar $C$.

Answer 2

No hay nada de malo, excepto el abandono de los pobres $a=1$, que aunque es un poco especial, no da problemas. Cuando hacemos los detalles que vamos a ver no es un problema en $a=2$.

Muy rápidamente (por $a\ne 1$) llegamos a $$\frac{y^{-a+1}}{-a+1}=x+C.$$ Es mejor encontrar a $C$ ahora. Poner $x=a$. Tenemos $$\frac{(a-2)^{-a+1}}{-a+1}=a+C.$$ Ahora sabemos $C$, excepto cuando se $a=2$ (uno no se puede dividir por $0$). Así, por $a=2$ no hay ninguna solución que satisface la condición inicial.

No hay problemas si $a=1$. Cierto, la anterior fórmula general no acaba de funcionar. Pero si integramos, obtenemos $$\ln(|y|)=x+C.$$ Poner $x=1$. Ahora podemos resolver para $C$, y terminar con $y=-e^{x-1}$. Alternativamente, terminamos con $y=C'e^x$, y a la conclusión de que $C'=-e^{-1}$.