La palabra clave para buscar es la obstrucción de la teoría, y la historia va así.
En primer lugar, permítanme describir de una forma más simple, pero análoga historia acerca de los grupos. Supongamos $f : G \to H$ es un mapa de los grupos, y quiere entender cuando este mapa puede ser elevada a un mapa de $G \to K$ donde $K \subseteq H$ es un subgrupo. (Puede que suene un poco extraño para llamar a una cosa de un ascensor, pero tengan paciencia conmigo.) Si $K$ es un subgrupo normal, hay una buena respuesta: hay una breve secuencia exacta
$$0 \to K \to H \xrightarrow{q} H/K \to 0$$
exhibiendo $K$ como el núcleo de un mapa, es decir, el cociente mapa de $H \xrightarrow{q} H/K$, y por la característica universal de los núcleos, $f$ ascensores $K$ fib el mapa compuesto
$$G \xrightarrow{f} H \xrightarrow{q} H//K$$
es cero.
La historia en homotopy teoría es un categorification de esta historia. Ahora supongamos $f : X \to E$ es un mapa de espacios, y quiere entender cuando este mapa puede ser elevada a un mapa de $X \to F$ donde $F$ es algo de espacio equipado con un mapa de $F \to E$, hasta homotopy. Al $E = BG$ para un grupo de $G$ $F = B \widetilde{G}$ para un grupo de $\widetilde{G}$ equipada con un mapa de $\widetilde{G} \to G$ dando un ascensor se llama la reducción de la estructura de grupo de la $G$-bundle $f : X \to BG$$G$$\widetilde{G}$, e incluye como un caso especial de encontrar orientaciones de espín estructuras, casi estructuras complejas, etc.
La respuesta a esta pregunta es más bonito si el mapa $F \to E$ es un "homotopy núcleo" en el sentido de que es parte de una secuencia de fibra
$$F \to E \xrightarrow{q} B.$$
Aquí $F, E, B$ señaló espacios y esta es una secuencia de punta de mapas, y siendo parte de una secuencia de fibra significa $F$ es el homotopy de la fibra del mapa $E \to B$, lo que significa, precisamente, que cumple las siguientes universal de los bienes: un mapa de $f : X \to E$ ascensores de un mapa de $X \to F$ hasta homotopy si y sólo si el mapa compuesto
$$X \xrightarrow{f} E \xrightarrow{q} B$$
es nullhomotopic (homotópica a la mapa $X \to B$ el envío de cada punto en $X$ para el punto de referencia $B$).
Hecho General: Deje $E$ $(n-1)$- conectado y deje $\widetilde{E}$ su $n$conectado a la cubierta. Hay un único mapa (hasta homotopy) $q : E \to B^n \pi_n(E) \cong K(\pi_n(E), n)$ la inducción de la identidad en $\pi_n$, y cabe en una secuencia de fibra
$$\widetilde{E} \to E \xrightarrow{q} B^n \pi_n(E).$$
En otras palabras, un mapa de $f : X \to E$ ascensores de un mapa de $f : X \to \widetilde{E}$ hasta homotopy si y sólo si el compuesto $X \xrightarrow{f} E \xrightarrow{q} B^n \pi_n(E)$ es nullhomotopic, o, equivalentemente, si y sólo si el cohomology de la clase $f^{\ast}(q) \in H^n(X, \pi_n(E))$ es cero.
Al $E = BO(n)$ este recupera la historia habitual acerca de la $w_1$ y orientaciones, básicamente porque $w_1$ es la única que no sea trivial mapa de $BO(n) \to B \mathbb{Z}_2$ hasta homotopy. Del mismo modo al $E = BSO(n)$ este recupera la historia habitual acerca de la $w_2$ y giro de estructuras, debido a que $w_2$ es la única que no sea trivial mapa de $BSO(n) \to B^2 \mathbb{Z}_2$ hasta homotopy (ambos de estos son simples corolarios del teorema de Hurewicz + universal de los coeficientes).
Lo que es un poco sorprendente aquí es que $w_2$ ya está definido en $BO(n)$, pero la historia no continúa de esta manera: el siguiente paso es acerca de la cadena de estructuras y es controlado por una clase de $\frac{p_1}{2} \in H^4(BSpin(n), \mathbb{Z})$ llama la primera fracciones de Pontryagin clase que no es la retirada de un cohomology de clase en $BSO(n)$ (aquí necesito $n \ge 4$ o quizás $n \ge 5$, no estoy seguro).
