La prueba de que el producto tensor es el subproducto en la categoría de R-álgebras

Question

Dada la categoría de la propiedad conmutativa R - o k-Álgebras, se menciona con frecuencia que el subproducto es el mismo que el producto tensor. Estoy interesado en la prueba de esta afirmación.

Una idea podría ser la prueba de una propiedad única, pero no estoy seguro de cómo hacer esto (o si realmente este es el camino correcto). Una elaboradora explicación sería muy apreciada.

Answer 1

Probando el producto tensor de la conmutativa $R$-álgebras satisface la característica universal de la subproducto es sencillo, pero puede ser más reveladora de averiguar la más general universal de la propiedad del producto tensor de no-necesariamente conmutativo $R$-álgebras.

Vamos $A$, $B$ y $C$ $R$- álgebras, no necesariamente conmutativo. Vamos a calcular $\mathrm{Hom}(A \otimes_R B, C)$ donde $\mathrm{Hom}$ significa morfismos de $R$-álgebras. Una $R$-álgebra homomorphism $f : A \otimes_R B \to C$ $R$- lineal mapa tal que $$f(a_1 a_2 \otimes b_1 b_2) = f(a_1 \otimes a_2) f(b_1 \otimes b_2).$$

Deje $g : A \to C$ $h:B \to C$ ser dado por $g(a) = f(a \otimes 1)$$h(b) = f(1 \otimes b)$. Conectar $b_1 = b_2 = 1$ de la muestra de la ecuación, vemos que $g$ $R$- álgebra homomorphism. Del mismo modo $h$ $R$- álgebra homomorphism y $f$ está determinado por $f(a \otimes b) = f((a \otimes 1)(1 \otimes b)) = g(a) h(b)$. Pero no podremos ir hacia atrás: si usted comienza con $R$-álgebras de mapas de $g$ $h$ e intente utilizar esta última fórmula para definir un $f$, se encuentra que sólo está bien definido si $g(a)$ $h(b)$ conmutar para cualquier $a \in A$$b\in B$. De hecho, que es necesario porque la $(a \otimes 1)(1 \otimes b) = a \otimes b = (1 \otimes b) (a \otimes 1)$, por lo tanto, la aplicación de $f$, encontraríamos $g(a) h(b) = f(a \otimes b) = h(b) g(a)$.

Usted puede comprobar fácilmente que la conmutatividad es suficiente para hacer de $f$ bien definido cuando a partir de $g$ $h$ y así tenemos el universal propiedad del producto tensor:

$$ \mathrm{Hom}(A \otimes_R B, C) = \{ (g,h) \in \mathrm{Hom}(A,C) \times \mathrm{Hom}(A,C) : \forall a \in A, b \in B, g(a) \text{ and } h(b) \text{ commute}\}.$$

Claramente, si nos restringimos a la subcategoría de conmutativa $R$-álgebras, la conmutación condición es automático y esto se reduce a la característica universal de la subproducto.

Observe que la situación en la categoría de grupos es muy similar: el producto directo de los grupos tiene una característica universal análogo a éste para que el producto tensor, es decir, el grupo de homorphisms de $G \times H$ a $K$ se dan por pares de homomorphisms $G \to K$ $H \to K$ cuyas imágenes trasladarse $K$. El producto directo de los grupos no es el subproducto (que sería el producto libre de grupos), pero es el subproducto cuando se restringe a Abelian grupos. (Un lugar donde esta analogía es que el producto directo de los grupos es el producto de los grupos, pero el producto tensor de $R$-álgebras no es el producto.)