La densidad conjunta de la muestra condicionada al estadístico suficiente depende del parámetro para la distribución uniforme

Question

Lex $X_1, X_2 \sim U(0, \theta)$ i.i.d , entonces obviamente la estadística suficiente sería $T = \max\{X_1, X_2\}$ , lo que puede demostrarse fácilmente mediante el teorema de la factorización. Sin embargo, intento calcular la densidad $f(x_1, x_2\mid t)$ que resulta depender del parámetro $\theta$ . Esto contradice absolutamente la definición de estadística suficiente:

$$ f(x_1, x_2, t) = \frac 1 {\theta^2}I\{t\leq \theta, \max\{x_1, x_2\}=t\} $$

$$ f(t) = \frac{2t}{\theta^2}I\{t \leq \theta\} $$

Así,

$$ f(x_1, x_2\mid t) = \frac 1 {2t} I\{t\leq \theta\} $$

que depende de $\theta$ a través de la función indicadora $I\{t\leq \theta\}$ .

¿Qué hay de malo en mi razonamiento? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Creo que deberías tener $$f(x_1,x_2 \mid t) = \frac{1}{2t} I\{0 \le t \le \theta, \max\{x_1,x_2\} = t\} = \frac{1}{2t} I\{\max\{x_1,x_2\} = t\}.$$

En cuanto a la aritmética de los indicadores: si $I\{0\le t \le \theta\} = 0$ entonces $f(x_1,x_2 \mid t)$ ni siquiera es una distribución de probabilidad bien definida, por lo que creo que se puede ignorar este caso y asumir $0 \le t \le \theta$ para que el denominador sea distinto de cero.

• si $I\{0 \le t \le \theta, \max\{x_1,x_2\}=t\}=1$ entonces $I\{0 \le t \le \theta\} =1$ , por lo que la relación es $1$ .
• De lo contrario, $I\{0 \le t \le \theta, \max\{x_1,x_2\}=t\}=0$ , por lo que la relación es $0$ independientemente de cuál sea el denominador (incluso cuando el denominador es cero)

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Editar:

$$P(T \le t) = (t/\theta)^2 I\{0 \le t \le \theta\} \implies f(t) = \frac{2t}{\theta^2} I\{0 \le t \le \theta\}$$

$$f(x_1,x_2,t) = \frac{1}{\theta^2} I\{0 \le t \le \theta, \max\{x_1,x_2\}=t\}$$

Answer 2

$$f(x_1,x_2\mid t)\overset{\text{Bayes}}{=}\frac{f(x_1,x_2,t)}{f(t)}=\frac{f(x_1,x_2)\mathbb{I}[x_1,x_2\le t]}{\mathbb{P}[x_1,x_2\le t]}=\frac{\frac{1}{\theta^2}\mathbb{I}[x_1,x_2\le t]}{\left(\frac t \theta \right)^2} = \frac{\mathbb{I}[x_1,x_2\le t]}{t^2}$$