Una pregunta vinculada con el concepto de Mentira derivados

Question

Supongamos $M$ es una de Riemann 3-colector. Se introduce una función de $t$ $M$ de manera tal que las dos dimensiones de las superficies "$t=\text{constant}$" $M$ anidado topológico 2-esferas con el interior de la superficie, que se reduce a un punto. Para cada valor de $t$ supongamos que $S$ es uno de esos superficie y $\eta_a = \nabla_a t$ denota la normal a $S$. La unidad normal es que el dado por $n_a = (\eta \cdot \eta)^{-1/2}\eta_a$. Deje $\xi^a:= un^a$ tiene la propiedad de que $\xi^a\nabla_a t = 1$.

Me gustaría mostrar que, en este caso, la tasa de cambio de una cantidad relativa a $S$ con respecto al $t$ es su Mentira derivados por $\xi^a$.

Todos mis esfuerzos fracasaron, cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

A partir de tu comentario he llegado a la conclusión de que la declaración precisa que se busca es la $$f'(t(p)) = \mathcal L_\xi (f \circ t)(p)$$ where $f : \mathbb R \to \mathbb R$ and $p$ is any point on one of the surfaces $S_t$.

Todo lo que necesitamos es la propiedad $dt(\xi) = \xi^a \nabla_a t = 1$ junto con la regla de la cadena: la Mentira de derivada de una función escalar es sólo el derivado del estándar de funciones, por lo $$\mathcal L_\xi (f \circ t) (p) = d(f \circ t)_p(\xi_p) = df_{t(p)} \left( dt_p(\xi_p)\right)=f'(t(p))\cdot1.$$