El uso de la W de Lambert para expresar una solución de una ecuación diferencial.

Question

He resuelto una ecuación diferencial hace algún tiempo y tengo que resolver para $y$. ¿Cómo podemos resolver para $y$ el uso de la función W de Lambert?

$$C_1+x = e^y+Cy$$

Answer 1

Sugerencia

$$\large C^{-1}\exp\left(C^{-1}e^y+y\right)=(C^{-1} e^y)e^{(C^{-1} e^y)} $$

Respuesta

$$\hskip 2in \displaystyle \begin{array}{} A+x=e^y+Cy \\ \frac{A+x}{C}=\frac{e^y}{C}+y \\ \frac{1}{C}\exp\left(\frac{A+x}{C}\right)=\frac{e^y}{C}\exp\left(\frac{e^y}{C}\right) \\ W\left(\frac{1}{C}e^{(A+x)/C}\right)=\frac{e^y}{C} \\ y=\log\left[ C\; W\left(\frac{1}{C}e^{(A+x)/C}\right)\right] \end{array}$$

Tenga en cuenta también que $\log W(z)=\log z-W(z)$, si usted quiere comparar con lo que W| da.