Pregunta acerca de la Dedekind la finalización de un no-arquímedes ordenó campo.

Question

Supongamos que tenemos un no-arquímedes ordenó campo $F$. No hay tal campo es Dedekind-completa, para que la propiedad implica el de Arquímedes. Pero, obviamente, podemos rellenar los huecos y la forma de la Dedekind finalización. Supongamos que hacemos esto. Indicar la estructura resultante por $D(F)$. Definir las operaciones aritméticas de la misma manera como se hizo para la finalización de los racionales para hacer que los reales. ¿Qué obtenemos?

No es un campo, eso es seguro: considerar el sup de los enteros del campo, $s$. Ahora, se puede ver a partir de la definición de la suma de los cortes que $s + 1 = s$. Esto significa que además no es invertible, por lo que no es un campo. ¿Qué es? Tiene propiedades interesantes, a pesar de su no-fieldness?

La pregunta: supongamos que tenemos en cuenta el conjunto de elementos $D(F) \backslash F$. Hacer todos estos elementos "absorber" al menos un elemento distinto de cero de a$D(F)$, es decir, dado cualquier $x \in D(F) \backslash F$, ¿existe al menos una $y \in D(F)$ tal que $x + y = x$$y \ne 0$? Si no, ¿qué condiciones deben cumplirse por el campo $F$ y el elemento $x$ para que sea "no-absorción"?

Answer 1

$\newcommand\Q{\mathbb{Q}}$

Es una gran pregunta! En general, la respuesta es no, porque hay campos con los elementos de la Dedekind de cierre que no se absorben en esta forma.

Aquí es un ejemplo. Deje $\Q^*$ ser una versión no estándar del campo racional, obtener, por ejemplo, como un ultrapower de $\Q$, por lo que es elemental, con la extensión de $\Q$. Así que este es un nonarchimedean ordenó campo. Además, $\sqrt{2}$ no existe en $\Q^*$. Pero $\sqrt{2}$ llena un Dedekind corte $S$ $\Q^*$ — el corte de los elementos de la $\Q^*$ que son negativos o cuyo cuadrado es menor que $2$ — y así es en la $D(\Q^*)\setminus \Q^*$. Pero aviso que la corte $S$ tiene la propiedad de que pueden ser superados con arbitrariamente pequeños elementos de $\Q^*$, ya que este hecho es cierto en $\Q$. En otras palabras, para cualquier $0\lt y$, no importa cómo es pequeño, no es $u<\sqrt{2}$ tal que $u+y>\sqrt{2}$. De ello se desprende que $\sqrt{2}<\sqrt{2}+y$ positivos $y$, y por lo $\sqrt{2}$ no está absorbiendo.

En cualquier campo, se puede caracterizar la absorción de los elementos exactamente este puente de la propiedad. Es decir, si $x\in D(F)\setminus F$, a continuación, los siguientes son equivalentes:

1. $x$ es absorbente; es decir, $x+y=x$ para algunos distinto de cero positivos $y\in F$.
2. $x-u$ se apartó de$0$$u\lt x$.
3. $(x-u)\to 0$ $u\to x$ de los de abajo.
4. La corte determinó por $x$ no es "puenteables", es decir, no se puede saltar con arbitrariamente pequeños elementos de $F$.

El $\sqrt{2}$ ejemplo trabajado precisamente porque ese corte es posible eliminar, y se puede saltar con arbitrariamente pequeños elementos de $\Q^*$, ya que el análogo de esto es cierto en el modelo estándar $\Q$. Mientras tanto, la corte en su ejemplo de la supremum de los elementos finitos no se puede saltar, incluso con cualquiera de los elementos finitos.

La actualización. Por último, permítanme decir que este puente idea de los puntos de la forma correcta para formar la Dedekind la finalización de un nonarchimedean ordenó campo: usted debe dejar a $D(F)$ rellenar sólo el puenteables recortes, en lugar de todos los cortes. Si lo haces de esta manera, usted será capaz de definir la estructura del campo en la realización, y que, por tanto, de producir un orden de campo, en el que cada puenteables corte está lleno, y en el que el campo original es densa.