Polinomios de Chebyshev y pruebas de primalidad

Question

Dejemos que $T(n,x)$ sea el enésimo polinomio de Chebyshev del primer tipo y sea $U(n-1,x)$ el $(n-1)$ polinomio de Chebyshev de segundo tipo. ¿Alguien podría ayudar a demostrar que

1) $n$ es primo si $T(n,x)$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ .

2) $n$ es primo si $U(n-1,x)$ expresado en potencias de $(x^2-1)$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ .

¡Muchas gracias!

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Aquí no hay ninguna "ordenación" implícita. La redacción de la pregunta se hizo de manera similar a cualquier pregunta de cualquier pregunta de matemáticas/investigación. No veo cómo una persona que está pidiendo ayuda estaría ordenando a la gente que ayude.

En cualquier caso, volvamos al tema,

Para la primera parte de la pregunta, he observado que si n es primo, entonces T(n,x) satisface el criterio de irreductibilidad de Eisenstein. Pero no estoy seguro de cómo demostrar que si T(n,x) es irreducible entonces n es primo.

Answer 1

Creo que el resultado para $T$ está en Hong Jen Hsiao, On factorization of Chebyshev's polynomials of the first kind, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 12 (1984), no. 1, 89-94, MR0743938 (86e:11017). Además, parece que hay una prueba en Rayes, M. O.; Trevisan, V.; Wang, P. S.; Factorization properties of Chebyshev polynomials, Comput. Math. Appl. 50 (2005), nº 8-9, 1231-1240, MR2175585 (2007e:33010), cuya versión está disponible en http://icm.mcs.kent.edu/reports/1998/ICM-199802-0001.pdf .

Answer 2

He demostrado el siguiente resultado, ver http://arxiv.org/abs/1110.6620

Dejemos que $\psi_n(x)$ sea el polinomio mínimo del entero algebraico $2 \cos \frac{2 \pi}{n}$ . Entonces

$$ U_n(x)=\prod_{\substack{ j|2n+2 \\ j\not=1,2}} \psi_j(2x) \ . $$ Dejemos que $n=2^{\alpha} N$ donde $N$ es impar y deja que $r=2^{\alpha+2}$ . Entonces

$$ T_n(x)=\frac{1}{2}\prod_{\substack{ j|N \\ }} \psi_{r j}(2x) \ . $$

Por ejemplo, para demostrar i) (que debería corregirse). Sea $n=p$ primo. Entonces $\alpha=0$ , $N=p$ y $r=4$ . Por lo tanto, $$ T_n(x)=\frac{1}{2} \psi_4(2x) \psi_{4p}(2x) $$

Tenga en cuenta que $\psi_4(x)=x$ . Como resultado, $n$ primo es equivalente a $\frac{1}{x} T_n(x)$ es irreducible.

Answer 3

Lo siguiente se encontró en http://perso.uclouvain.be/alphonse.magnus/num1a/chebprim.htm

De: Robin Chapman
[1] Re: Prueba de primalidad con polinomios de Chebyshev Fecha: Fri Feb 20 05:35:18 EST 1998

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Sus raíces son los números no nulos de la forma $\cos(\pi/2n + 2j \pi)$ donde $j$ es un número entero. Incluyen $\cos(\pi/2n)$ que genera el subcampo real del campo ciclotómico $Q(\exp(2 \pi i/4n))$ . Este campo ciclotómico tiene grado $\phi(4n) = 2 \phi(n)$ (donde $\phi$ es la función de Euler) y su subcampo real tiene grado $\phi(n)$ [esto se debe a la irreducibilidad de los polinomios ciclotómicos]. Así que el polinomio mínimo de $\cos(\pi/2n)$ tiene grado $\phi(n)$ y por lo tanto es igual al Chebyshev dividido por $x$ si $\phi(n) = n-1$ si $n$ es primo.

Una "prueba de primalidad" relacionada pero más sencilla es que p es primo si Por supuesto, ambas "pruebas" son inútiles en la práctica.

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Robin Chapman "256 256 256.

Departamento de Matemáticas O hel, ol rite; 256; whot's

Universidad de Exeter, EX4 4QE, Reino Unido 12 tyms 256? Bugird si no.

rjc@maths.exeter.ac.uk 2 dificultan el trabajo".

http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/rjc.html Iain M. Banks - Feersum Endjinn