¿Cómo puedo encontrar $M_n$ en
\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^\infty x^{\frac{s}{2}-1}e^{-\pi n^{2}x}dx \end{equation} para demostrar que es uniformemente convergente?
UPDATE : Acabo de volver a esto y tengo problemas para entenderlo. Sin relacionar esta integral con las funciones zeta y gamma, ¿cómo demuestro que la suma tiene convergencia uniforme ( Weierstrass)? Para $Re(s) > 1$ . ¿Y puede por tanto intercambiar integral con suma por el teorema de fubinis?
Puede observar que, utilizando un representación integral de la función gamma tenemos $$ \int _0^{\infty }x^{s/2-1}e^{-\pi n^2x}dx=\frac{1}{n^s}\pi^{-s/2}\Gamma(s/2) $$ entonces su serie reescribe $$ \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^\infty x^{\frac{s}{2}-1}e^{-\pi n^{2}x}dx=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) $$ y la convergencia de la serie es uniforme en cada $[a,b] \ni s$ , $1<a<b$ ya que $$ \left|\frac{1}{n^s}\right|\leq\frac{1}{n^a}, \quad n\geq1. $$
@OlivierOloa Por supuesto, la representación en serie de la función Riemann-Zeta converge sólo cuando $\text{Re}(s)>1$ . Por lo tanto, tenemos que restringir $s$ en este problema tal que $\text{Re}(s)>1$ .
No, la serie no converge uniformemente en $[a,\infty), $ simplemente porque cada una de esas integrales $\to \infty$ en $\infty.$ Obtenemos una convergencia uniforme en cada $[a,b], 1<a<b<\infty.$
Lemma: Para cualquier $a>0,$
$$\lim_{p\to \infty}\int_0^\infty x^pe^{-ax}\, dx = \infty.$$
Prueba: La integral es mayor que
$$\int_1^2 x^p e^{-ax}\ dx \ge e^{-2a}\int_1^2 x^p\ dx = e^{-2a}\cdot\frac{2^{p+1}-1}{(p+1)}.$$
La última expresión $\to \infty$ como $p\to \infty.$
En su problema, deje que $f_n(s)= \int_0^\infty x^{s/2-1}e^{-\pi n^2x}\,dx.$ Te preguntas si $\sum_n f_n(s)$ converge uniformemente en $(1,\infty).$ No es así. ¿Por qué? El lema muestra que cada $f_n(s) \to \infty$ como $s\to \infty.$ Así, cada $f_n$ no tiene límite en $(1,\infty).$ Hecho elemental: Ninguna serie de funciones no acotadas sobre un conjunto puede converger uniformemente en ese conjunto.
Ahora también planteas la cuestión de si la suma y la integral se pueden intercalar en este problema. Pues sí. Una forma sencilla de ver que es el teorema de convergencia monótona, un corolario de lo que dice, para ser breve: Si cada $f_n$ es no negativo, entonces $\sum_n \int f_n = \int (\sum_n f_n).$
¿Cómo ha llegado a esa conclusión? Desde luego, no se ha dicho. La OP pregunta si la suma converge uniformemente. El $n$ debe ser una función. ¿De qué? De $s$ por supuesto.
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Sugerencia: vincule la integración con $\Gamma$ función.
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Uniformemente convergente ¿dónde?
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He cambiado mi respuesta a continuación para dar una prueba sin utilizar propiedades de la función gamma o zeta.