La secuencia que cambia su signo como este

Question

Que es la fórmula general de esta secuencia?

$$ x_0 = -1$$

$$ x_{n+1} = ((-1)^n*X_n)/2^n$$

Lo que me sorprende más es la señal de que es así: $--++--++--++--++\cdots$

Me he estado preguntando cómo el signo puede cambiar como que, ¿alguna idea?

Answer 1

Deje $\,a_n=(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor+1}\,$, luego por cálculo directo $a_0=a_1=-1\,$, $a_2=a_3=1\,$, y:

$$ a_{n+4}=(-1)^{\lfloor (n+4)/2 \rfloor+1} = (-1)^{\lfloor n/2 + 2 \rfloor+1}=(-1)^2 \cdot (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor+1}=(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor+1} = a_n $$

Por lo tanto, la secuencia es periódica con período de $\,4\,$, y así los cuatro primeros valores de $\,-1,-1,1,1\,$ repetirá indefinidamente.

Answer 2

Usted puede fácil demostrar por inducción que $\forall n\in\mathbb{N},x_n\neq0$.

Ahora vamos a $n\ge 1$. Tenemos $\forall k\in\{0,..,n-1\},x_{k+1}=\left(\dfrac{-1}{2}\right)^kx_k$. Así \begin{aligned} \prod_{k=0}^{n-1}x_{k+1}&=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac{-1}{2}\right)^k x_k\\ \prod_{k=1}^nx_k&=\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{\left(\sum_{k=0}^{n-1}k\right)}\prod_{k=0}^{n-1}x_k. \end{aligned}

Usted puede eliminar las $\prod_{k=1}^{n-1}x_k$ y tenemos$\sum_{k=0}^{n-1}k=\dfrac{(n-1)n}{2}$. Por lo tanto \begin{aligned} x_{n+1}&=\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{\frac{(n-1)n}{2}}x_0\\ &=-\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{\frac{(n-1)n}{2}}. \end{aligned}

Por lo tanto, una fórmula general que le da a su descritos signo es $(-1)^{\frac{(n-1)n}{2}}$. Tenga en cuenta que incluso si esto va más allá de su nivel matemático, usted puede probar la fórmula tenemos para $x_n$ por inducción.

Answer 3

Deje $n=2k $ ser incluso. A continuación, $(-1)^n=1$ $x_{n+1}$ tendrá el mismo signo de $x_n$.

Deje $n=2k+1$ ser impar. A continuación, $(-1)^n=-1$ $x_{n+1} $ será el signo opuesto como $x_n $.

Por lo tanto, $x_{n+2}$ siempre será el signo opuesto como $x_{n} $. Porque si $n $ es incluso, a continuación, $x_{n+1}$ tendrá el mismo signo, y $n+1$ es extraño por lo tanto $x_{n+1}$ tiene el signo opuesto. Si $n$ es impar, a continuación, $x_{n+1}$ tiene el signo opuesto, y $n+1$ es incluso lo $x_{n+1} $ también tiene el signo opuesto.

Y $x_{n+4} $ tendrá el mismo signo de $x_{n+4} $ el contrario de $x_{n+2} $ que es el opuesto de a $x_n$.

Por lo $x_0 = -$, por definición.

$x_1=-$ porque 0 es incluso tan firme permanece el mismo.

$x_2=+$ porque $1$ es extraño por lo tanto el signo de los cambios.

$x_3=+$ porque $2$ es aún así mantiene el mismo signo

$x_4=-$ y el patrón se repite para siempre como patrón se repite cuatro de cada cuarto término.