Utilizando 2D posición, la velocidad y la masa para determinar la paramétrico de la posición de las ecuaciones de un cuerpo en órbita

Question

Tengo una gravedad relacionados con la pregunta. Estoy programando una órbita simulador. Lo tengo todo en marcha y funcionando, pero me gustaría hacer el cuerpo más pequeño sendero orbital (el más grande del cuerpo es fija). Para ello, necesito las ecuaciones paramétricas para la posición del cuerpo en cualquier momento (es decir, necesito un $x(t)$ $y(t)$ función). Tengo acceso a cada posición del cuerpo, la velocidad y la masa. No tengo otro accesibles variables.

P. S. Aquí hay un enlace a lo que tengo hasta ahora. Las ecuaciones que se utilizan en la actualidad para trazar la órbita $x(t)=x+v_xt$$y(t)=y+v_yt$.

Answer 1

Esta respuesta es un complemento a Chris White respuesta.

Puño en alto, no hay ninguna explícita de las ecuaciones para la posición de un objeto siguiendo una órbita de Kepler como una función del tiempo. Sin embargo, cuando las condiciones iniciales son conocidos, la ruta de acceso al objeto de seguir se pueden encontrar, así como la velocidad, la aceleración, ect. en cualquier posición dada. Este camino puede ser descrito por la siguiente ecuación: $$ r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{\theta}} $$ donde $r$ es la distancia entre el (pequeño) objeto y el foco de la órbita (que es igual a la posición de la gran objeto fijo o el centro de masa de los dos si el segundo objeto no es fijo), $a$ es el semi-eje mayor, $e$ es la excentricidad y $\theta$ es la verdadera anomalía (el ángulo entre la posición de los objetos, el enfoque y la posición del objeto en el más cercano de aproximación/periapsis).

El semi-eje mayor y la excentricidad puede ser deducida a partir de las condiciones iniciales: $$ a=\frac{\mu r}{2\mu-rv^2} $$ $$ e=\sqrt{1+\frac{rv_{\theta}^2}{\mu}\left(\frac{rv^2}{\mu}-2\right)} $$ donde $\mu$ es el parámetro gravitacional de la gran objeto fijo ($\mu=GM$), $v$ es la velocidad del objeto y $v_r$ es la componente tangencial de la velocidad.

Este componente tangencial de la velocidad se puede encontrar mediante el uso de algunas de álgebra lineal (la resultante equivalente de la cruz de productos en 2D): $$ v_{\theta}=\frac{xv_y-yv_x}{\sqrt{x^2+y^2}} $$

La posición de la periapsis puede tener cualquier ángulo con respecto a la atención y el eje en el que se representan las posiciones. Así que usted tendrá que compensar/rotar el camino que han encontrado a un ángulo determinado para que coincida con las condiciones iniciales.

Este ángulo de desplazamiento $\theta$, vamos a llamarlo $\Delta\theta$, se puede calcular como sigue: $$ \Delta\theta={\rm sign}\left(v_{\theta}v_r\right)\cos^{-1}\left(\frac{a(1-e^2)-\sqrt{x^2+y^2}}{e\sqrt{x^2+y^2}}\right)-{\rm atan2}\left(y,x\right) $$ en función de las ${\rm sign}(x)$ se refiere a si $x$ es positivo o negativo $\left(\frac{x}{|x|}\right)$ $v_r$ es el de la velocidad radial, que puede ser encontrado por: $$ v_r=\frac{xv_x+yv_y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ Este desplazamiento del ángulo elegido es tal que el resultado de la ruta está definida por: $$ x_{path}=r(\theta)\cos\left(\theta+\Delta\theta\right) $$ $$ y_{path}=-r(\theta)\sin\left(\theta+\Delta\theta\right) $$

Tengo una nota final acerca de la elección de la gama de $\theta$, ya que al$e\ge1$, a continuación, el camino ya no será una elipse, pero una parábola o una hipérbola, que se extiende hasta el infinito. Para evitar tratar de sacar esto puede limitar el rango de $\theta$. Por ejemplo, la elección de un radio máximo, $r_{max}$. El rango de $\theta$ será entonces: $$ \theta_{max}={\rm real}\left(\cos^{-1}\left(\frac{a(1-e^2)-r_{max}}{er_{max}}\right)\right) $$ $$ \theta\[- \theta_{max},\theta_{max}] $$

Answer 2

Parece que has hecho la parte más difícil ya que es la evolución de la posición del objeto como una función del tiempo. Y por otra parte, la simulación parece estable durante un número de órbitas. (Pero con el tiempo las cosas empiezan a ir mal; es posible que desee ver en una respuesta que le escribí a ¿Cuál es la forma correcta de integrar en la astronomía simulaciones?)

Así que mi entendimiento es todo lo que realmente necesita es la plenitud de la órbita trazada. En ese caso, no hay necesidad de hacer una función de tiempo real (que es difícil). En su lugar, podemos caer de nuevo a la Primera Ley de Kepler, la cual dice que la separación de $r$ entre los cuerpos obedece $$ r = \frac{r_\mathrm{max}(1-e)}{1+e\cos(\theta)}. $$ $r_\mathrm{max}$ es el máximo de la separación, que creo que es la inicial de la separación en su simulación. La excentricidad $e$ (fórmula aquí) está dada por $$ e^2 = 1 + \frac{2Er^4\dot{\theta}^2}{G^2M^2m}, $$ donde $E$ es la energía orbital, $G$ es la constante gravitacional, $M$ es la masa que es tan pesada que esencialmente no se mueve, y $m$ es el más ligero de la masa. Esto puede convenientemente ser reescrito $$ e^2 = 1 + 2 \left(\frac{rv}{GM}\right)^2 \left(\frac{v^2}{2} - \frac{GM}{r}\right), $$ donde $v$ es la velocidad del movimiento de la partícula.

Tenga en cuenta que la convención es para $\theta$ a medir el ángulo de enfoque más cercano (es decir, $\theta = 0$ es el negativo de la $y$-eje de la simulación). Si desea $\theta$ a aumentar con el tiempo, entonces el (no estándar) de la transformación a coordenadas Cartesianas es \begin{align} x & = -r \sin(\theta) \\ y & = -r \cos(\theta), \end{align} asumiendo $r = 0$ corresponde al objeto masivo. En cualquier caso, para trazar la órbita todo lo que necesitas hacer es calcular la constante de $e$ a un punto en la órbita de la muestra $\theta$ con tantos puntos como te gusta, calcular las separaciones $r(\theta)$, y convertir el $(r, \theta)$ pares de a $(x, y)$.

Answer 3

Orbital simulaciones puede ser manejado mediante las siguientes relaciones: \begin{eqnarray} \mathbf F&=&m\mathbf a=m\frac{d^2\mathbf x}{dt^2}\tag{a} \\ \mathbf v&=&\frac{d\mathbf x}{dt}\tag{b}\\ \mathbf a&=&\frac{d\mathbf v}{dt}\tag{c} \end{eqnarray} La fuerza que actúa sobre dos cuerpos de masas, $M$ $m$ está dada por Newton de gravitación de la ley $$ \mathbf F=G\frac{mM}{r^2}\hat{\mathbf r}=G\frac{mM}{r^3}\left(x\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right)\etiqueta{d} $$ con $r=\sqrt{x^2+y^2}$. A continuación, el algoritmo es así:

1. Calcular $\mathbf F$ $\mathbf x$
2. Determinar la nueva velocidad $\mathbf v$ través $\mathbf v^{n+1}=\mathbf v^n+\mathbf a\,dt$
3. Determinar la nueva posición $\mathbf x$ través $\mathbf x^{n+1}=\mathbf x^n+\mathbf v\,dt$
4. Volver al Paso 1.

Esto puede ser hecho usando exacta de las ecuaciones anteriores, pero no va a ser numéricamente estable por mucho tiempo. De orden superior métodos como el método de Runge-Kutta 3/4/5 va a mantener su estabilidad durante largos periodos de tiempo, pero no será perfecto.

Si esta no es la información que se necesita, hágamelo saber y voy a tratar de ayudar con lo que puedo, pero a mí me parece que usted sólo necesita saber la Ecuación (d) en relación a los otros.