Cómo resolver el problema de la DE $y' = -y + ty^{1/2}$?

Question

La DE es $y' = -y + ty^{\frac{1}{2}}$.

$2 \le t \le 3$

$y(2) = 2$

Traté de ver si estaba en la forma lineal. Me dieron:

$$\frac{dy}{dt} + y = ty^{\frac{1}{2}}$$

The RHS was not a function of t. I also tried separation of variables, but I couldn't isolate the y from the term $ty^{\frac{1}{2}}$. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Set $y=z^2$ y simplificar. Consigue $y'=2zz'$ y su ecuación es $2zz'+z^2=tz$ o $2z'+z=t$ que es lineal y se puede aplicar el factor de integración.

(Asumimos $y>0$, que está cerca del punto inicial.)

Answer 2

Deje $y=u^2$, entonces usted puede cancelar un factor de $u$ y obtener

$$2 u' + u = t$$

para los que se puede aplicar un factor de integración de $e^{t/2}$ a ambos lados y obtener

$$\frac{d}{dt} [u e^{t/2}] = \frac{t}{2} e^{t/2}$$

La integración de ambos lados, obtenemos la solución general:

$$u(t) = t-2 + C e^{-t/2}$$

donde $C$ es una constante de integración. La solución es entonces $y(t)=u(t)^2$.

Answer 3

Sólo voy a añadir que la integración del factor no es necesario. A partir de las ecuaciones $$ 2z'+z = t $$ se puede suponer que la solución particular es lineal $z^p = At+B$ y sustituir a la educación a distancia $$ 2A+A+B=t $$ de que usted puede encontrar fácilmente que $A = 1, B = -2$, lo $z^p = t - 2$. Solución General de la no homogénea problema es una suma de la solución general de la homogénea problema y la solución particular de la no homogénea problema. Homogéneo puede ser resuelto fácilmente y $z_0 = C^{-\frac 12t}$, lo $z = t-2+C^{-\frac 12 t}$

Answer 4

Si ese $y^{\frac12}$ no estaban allí, usted puede solucionar el problema mediante la multiplicación por un factor de integración de $e^t$ rendimiento $(e^ty)'$ en el lado izquierdo. Trate de hacer la sustitución

$$z=e^ty$$ $$y^{\frac12}=z^{\frac12}e^{-\frac t2}$$ $$e^ty'+e^ty=(e^ty)'=te^ty^{\frac12}$$ $$z'=te^t(z^{\frac12}e^{-\frac t2})=te^{\frac t2}z^{\frac12}$$

Esta ecuación es ahora separables.

Answer 5

Sugerencia:

Otro enfoque aplicar aquí es ver que su diámetro externo es un [Bernoulli] (http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_differential_equation) la ecuación. Sólo para ver que $n=1/2$. La sustitución de $w=y^{1-1/2}=\sqrt{y}$ obras.