(CASI una respuesta) con el fin de $S(kq)\leq3$, $kq$ debe estar en una de las siguientes formas:
(1): $$kq=2*10^n+1$$
(2): $$kq=10^n+1$$
(3): $$kq=10^n+10^m+1$$, where $n\neq m$
Vamos a ver en los casos uno por uno y demostrar que no debe existir $n$ o $n,m$ que cumplen al menos uno de los casos mencionados, los siguientes @Peter 's dirección.
Caso (1):
$2*10^n+1\equiv2p+1$ (mod $q$)
$10^n\equiv p$
Ahora vamos a $g$ ser una raíz primitiva de mod $q$, de tal manera que $g^a\equiv10$ $g^b\equiv p$ (mod $q$), donde $1\leq a,b\leq 2p$
Entonces la cuestión se reduce a si $g^{an}=g^b$ (mod p) tiene solución o no. Y desde la raíz primitiva tiene orden de $2p$,
$an\equiv b$ (mod $2p$)
Es sólo solucionable iff
$b\equiv 0$ (mod $GCD(a,2p)$)
Así que si $a,2p$ son coprime, no debe ser un entero $0\geq n\geq 2p$ que satisface $kq=2*10^n+1$
Caso (2):
Si el caso anterior falla, que significa $b\not\equiv 0$ (mod $GCD(a,2p)$)
A continuación, $a$ $2p$ no debe ser coprime, ya $p$ es un número primo, $a=p$ o $a=2$.
$2p\equiv -1\equiv 10^n$ (mod $q$)
Deje $g^c\equiv 2$ (mod $q$), $1\leq c\leq 2p$
Sabemos,
$g^p\equiv g^{b+c}\equiv -1$
Debido a $(g^p)^2\equiv 1$ (mod $q$) sino $p\not\equiv 0$ (mod $2p$)
Si $g^p\equiv g^{an}$ es solucionable
A continuación,
$p\equiv an$ (mod $2p$) tiene una solución para $n$, y tiene solución iff
$p\equiv 0$ (mod $GCD(a,2p)$)
Sub-caso: $a=p$,
$p\equiv 0$ (mod $a=p$) es trivial
Así que debe de ser la solución para $n$ si $a=p$
Sub-caso: $a=2$, no debe ser la solución para $n$ si $b,c$ tienen la misma paridad.
De hecho, $1 \leq b,c \leq 2p$ implica que el $2\leq b+c\leq 4p$,
por lo $b+c=p$ o $b+c=3p$,
porque si $b+c=2p$ o $4p$, contradiría que $g^{b+c}\equiv -1$ (mod $q$)
Por lo $b+c\equiv 1$ (mod $a=2$), para el caso de que $a=2$, no habrá solución en la forma de (1) o (2).
Caso (3):
$kq=10^n+10^m+1$
$2p\equiv 10^n+10^m$ (mod $q$)
$g^{b+c}\equiv -1\equiv g^{2n}+g^{2m}$
I cant cómo mostrar que este tipo de ecuación tiene solución $n,m$. Si usted puede demostrar que existen soluciones, entonces tenemos cubiertos todos los casos posibles.
(Nota: se puede demostrar que si $a=p$, entonces no debe haber ninguna solución en la forma $10^n+10^m+1$ desde
$g^{pm}+g^{pn}+1\not\equiv 0$ (mod $q$) desde $g^{pm},g^{pn}\equiv \pm 1$)
